DM terminale S, suite et fonction exponentielle

[shaunarbt]

Bonjour, j'ai ce devoir maison à faire pour la rentrée. Malheureusement je suis totalement perdue, j'y arrive en temps normal, mais ce dm me pose des problèmes dés la deuxième question. Merci de toute aide, et explications.

Sujet:

f est la fonction définie sur R par f(x) = (x² +x + 1)e^x
On note f(1), f(2),...f(n) ses dérivées successives.On dit que que f(n) est la dérivée "n-ième" de f. De meme, f(1) est la dérivée notée habituellement f'.

1/A/ Calculez f(1)(x).
b/ Démontrez par récurrence que f(n)(x) s'écrit sous la forme (x² +anx +bn)e^x où an et bn sont des entiers naturels.

2/ On considéré les suites (an) et (bn) définies sur N* par :
a1 =3 et an+1 =an+2
b1 = 2 et bn+1 = bn +an

a/ vérifiez que la suite (an) est une suite arithmétique et déduisez en an en fonction de n.

b/ démontre que pour tout entier n \ge 1 , b=2+\sum_{i=1}^{n-1} ai et deduisez-en l'expression de bnen fonction de n .

c/quelle est l'expression de f(2013) x ?

[titine]

As tu fait le 1 b) ?

[mathelot]

bonjour,

On dérive par la formule dite de Leibniz

(uv)'=u'v+uv'=(u'+u)v

car v'=v

[shaunarbt]

Je bloque à partir de la 1b je ne vois pas comment démontrer par récurrence

[titine]

Au 2) je ne comprends pas bien an+1 = an+2 ?
Veux tu dire a(n+1) = a(n) + 2

[shaunarbt]

Au 2) je ne comprends pas bien an+1 = an+2 ?
Veux tu dire a(n+1) = a(n) + 2

Je ne comprend pas ta question

[shaunarbt]

Je ne comprend pas ta question

n+1 est en indice pour a et n est en indice aussi pour le a
c'est an+1 en indice = an avec le n en indice +2

[shaunarbt]

Tous les n, ou n+1 sont en indices

[titine]

1b)
Initialisation : pas de problème.
Hérédité : on suppose que f(n) (x) = (x² +anx +bn)e^x
et on calcule f(n+1) (x) qui est la dérivée de f(n).

2) Si a(n+1) = a(n) + 2 alors, par définition, (an) est une suite arithmétique de raison 2. Son 1er terme est a(1).
On en déduit que a(n) = a(1) + (n-1)*2
Donc a(n) = 3 + 2(n-1) = 1 + 2n

[shaunarbt]

1b)
Initialisation : pas de problème.
Hérédité : on suppose que f(n) (x) = (x² +anx +bn)e^x
et on calcule f(n+1) (x) qui est la dérivée de f(n).

2) Si a(n+1) = a(n) + 2 alors, par définition, (an) est une suite arithmétique de raison 2. Son 1er terme est a(1).
On en déduit que a(n) = a(1) + (n-1)*2
Donc a(n) = 3 + 2(n-1) = 1 + 2n

Si j'ai bien compris pour la question 1)b, pour l'hérédité je n'ai pas de calculs à faire, puisque f(n+1)+f'(x) ?

[shaunarbt]

Si j'ai bien compris pour la question 1b), je n'ai pas de calculs à faire? Ou il faut quand même que je calcul f(x+1)? Ou je peux directement dire que f(x+1) vaut la dérivé de f(x) ? Car je n'ai pas vu cette méthode en cours.

[shaunarbt]

Pour la question 2, je ne comprend pas d'ou sort le (n-1) ?

[titine]

f(n+1) est la dérivée de f(n) par l'énoncé.
On te dit que f(1) , f(2) , .... sont les dérivées successives de f.

Tu veux démontrer par récurrence que f(n) est de la forme (x² +anx +bn)e^x
Pour cela tu supposes que c'est vrai pour f(n).
Tu calcules f(n+1) = (f(n))'
Tu dois alors avoir f(n+1) qui est de la forme (x² + a(n+1)x + b(n+1))e^x

[titine]

Si (Un) suite arithmétique de raison r et de 1er terme u0 alors Un = U0 + nr
Plus généralement Un = Up + (n-p)r
En particulier Un = U1 + (n-1)r

En effet :
U2 = U1 + r
U3 = U2 + r = U1 + r + r = U1 + 2r
U4 = U3 + r = U1 + 3r
.......
Un = U1 + (n-1)r

[shaunarbt]

Je comprend pour la question d'hérédité.
Mais je ne comprend toujours pas pour ce (n-1), je n'ai jamais vu ça. Pour moi Un=U0+nr...

[shaunarbt]

Très bien j'ai compris, pour ces deux premières questions je vois comment faire. Maintenant pour la question 2/b) et c) je ne comprend pas comment faire. Surtout la 2b) à vrai dire. Je comprend le symbole de la somme, mais je ne vois pas comment démontrer cela.

[titine]

Je n'arrive pas à déchiffrer la question 2b)

[mathelot]

re,



d'après Leibniz






itérons






on pressent que




posons et



ce qui risque de donner une formule close pour



sachant

[shaunarbt]

re,



d'après Leibniz






itérons






on pressent que




posons et



ce qui risque de donner une formule close pour



sachant

A quels questions répondez-vous ?

[shaunarbt]

Je n'arrive pas à déchiffrer la question 2b)

Comment puis-je insérer une photo ?