Exercice Variation

par **Clemo** » 04 Sep 2015, 17:05

Bonjour, je suis en difficulté sur un exercice et j'aimerais votre aide.
Voici l'énoncé:
On pose pour tout x réel, f(x) = x^3 -3x² + 44/27
1) Avec la calculatrice et en expliquant votre démarche, déterminer le nombre de solution de f(x)=0 sur [-5;5] et donner la valeur approchée des solutions éventuelles.
2) Déterminer le sens de variation de f puis dresser le tableau de variation de f. (en justifiant)
3) Déterminer a,b,c pour que l'on ait f(x)=(x+2/3)(ax²+bx+c)
4) En déduire les solutions exactes de l'équation f(x)=0

Ce que j'ai fait:
1) Graphiquement la courbe semble couper l'axe des abscisses en 3 points dans l'intervalle [-5;5]:
1=(0.6;0) 2=(0.8;0) 3=(2.7;0)
2) La courbe semble croissante puis décroissante et à nouveau croissante (je sais pas comment on justifie). Dresser le tableau ne m'a posé de problème.
3) Jécris pas la démonstration mais j'ai trouvée a=1 b=-11/3 c=22/9
4) Je ne vois pas comment faire.

En vous remerciant de votre aide.

par **mathelot** » 04 Sep 2015, 17:10

Clemo a écrit:Bonjour, je suis en difficulté sur un exercice et j'aimerais votre aide.
Voici l'énoncé:
On pose pour tout x réel, f(x) = x^3 -3x² + 44/27
1) Avec la calculatrice et en expliquant votre démarche, déterminer le nombre de solution de f(x)=0 sur [-5;5] et donner la valeur approchée des solutions éventuelles.
2) Déterminer le sens de variation de f puis dresser le tableau de variation de f. (en justifiant)
3) Déterminer a,b,c pour que l'on ait f(x)=(x+2/3)(ax²+bx+c)
4) En déduire les solutions exactes de l'équation f(x)=0

Ce que j'ai fait:
1) Graphiquement la courbe semble couper l'axe des abscisses en 3 points dans l'intervalle [-5;5]:
1=(0.6;0) 2=(0.8;0) 3=(2.7;0)
2) La courbe semble croissante puis décroissante et à nouveau croissante (je sais pas comment on justifie). Dresser le tableau ne m'a posé de problème.

calculer la fonction dérivée , la factoriser et dresser un tableau de signes.
f est croissante sur les intervalles où f' est positive
3) Jécris pas la démonstration mais j'ai trouvée a=1 b=-11/3 c=22/9
4) Je ne vois pas comment faire.

les trois solutions sont -2/3 et les deux racines du trinome
En vous remerciant de votre aide.

tu peux vérifier tes calculs sur Wolfram alphaici

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 09:38

Voici comment j'ai dérivé:

f(x)=x^3-3x²+44/27 de la forme u+v
avec u(x)=x^3-3x² et v(x)=44/27
u'(x)=3x²-6x v'(x)=0

f'(x)=u'+v'
f'(x)=3x²-6x

Mais puisque tu me dit de factoriser j'imagine que c'est pas ça...
Merci de m'aider à factoriser

par **chan79** » 05 Sep 2015, 10:10

salut
attention à la dérivée de -3x²

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 10:21

chan79 a écrit:salut
attention à la dérivée de -3x²

La dérivée est -2x²???

par **chan79** » 05 Sep 2015, 11:13

Clemo a écrit:La dérivée est -2x²???

Non, jette un coup d'il au cours.
Quelle est la dérivée de

?

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 11:21

chan79 a écrit:Non, jette un coup d'il au cours.
Quelle est la dérivée de ?

La drivée de x^n est nx^n-1 donc dérive de 3x² vaut 6x???

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 11:53

Et du coup en factorisant cela donne: f'(x)=2(3x²-3x) c'est bien cela? Et après je fait le tableau de signe:

Ce qui me donne:
f'(x) positive sur -infini ; 0 puis négative jusquà 1 et positive jusquà + l'infini

par **chan79** » 05 Sep 2015, 12:05

Clemo a écrit:Et du coup en factorisant cela donne: f'(x)=2(3x²-3x) c'est bien cela? Et après je fait le tableau de signe:

Ce qui me donne:
f'(x) positive sur -infini ; 0 puis négative jusquà 1 et positive jusquà + l'infini

La dérivée de 3x² est bien 6x mais revois l'expression factorisée de f'(x).

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 12:26

chan79 a écrit:La dérivée de 3x² est bien 6x mais revois l'expression factorisée de f'(x).

Ah oui effectivement c'est faux.
Ceci serait déjà mieux: 2(3/2x²-3x)

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 13:38

J'ai réussi a faire mon tableau de signe puis de variation. Pouvez vous m'aider à la dernière question s'il vous plait.

Effectivement -2/3 fonctionne mais comment le prouver (simplement par le calcul?)

Pour les deux autres j'ai fait avec Delta et j'ai trouvé (11+Racine33)/6 et (11-Racine33)/6 c'est bien cela?

En vous remerciant

par **chan79** » 05 Sep 2015, 14:20

Clemo a écrit:Ah oui effectivement c'est faux.
Ceci serait déjà mieux: 2(3/2x²-3x)

3x²-6x=3x(x-2)

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 14:30

chan79 a écrit:3x²-6x=3x(x-2)

Les deux fonctionnent non?

par **chan79** » 05 Sep 2015, 14:33

Clemo a écrit:Les deux fonctionnent non?

Tu as trouvé quelles variations de f ?

par **Clemo** » 05 Sep 2015, 14:40

chan79 a écrit:Tu as trouvé quelles variations de f ?

croissante, s'annule en 0 décroissante s'annule en 2 puis croissante

par **Clemo** » 06 Sep 2015, 11:39

J'ai opté pour la solution de Chan79 et fait mon tableau de signe et de variation.

Pour la question 5, je ne sais pas comment prouver les réponses -2/3, (11+Racinne33)/6 et (11-Racine33)/6 sachant que les deux dernières sont les racines du polynôme du seconde degrés.

Merci pour votre aide.

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