Exercice variation f (géométrie) 1ère S

[Mobster]

Bonjour !
Tout d'abord, voilà le lien de l'image où j'ai représenté la figure de l'énoncé :


ABCD est un carré de 4cm de coté.
E milieu de [AD].
M est sur [AB[.
La perpendiculaire à (EM) en M coupe [BC] en N.
On pose AM = x (X dans mon dessin) et on appelle f(x) l'aire de ENM.

1) Etudier les variations de f sur [0;4[.
2) En déduire un encadrement de f(x) pour x élément de [0;2].

Déjà, je ne comprend pas la deuxième question >_<
On commence par la première hein
Donc, dans cette première question, j'ai cherché f(x).
j'ai utilsé aire du triangle = (base x hauteur)/2.
Ca donne f(x) = (ME x MN) /2.

J'ai calculé ME et MN, en utilisant les triangles semblables AEM et BMN. J'ai pas encore démontré qu'ils l'étaient mais notre prof nous l'a dit, donc je vais chercher le résultat puis démontrer qu'il le sont. Enfin je vais essayer.
On a donc BN/AM = NM/ME = BM/AE.
Donc MN/ME = BM/AE.
MN = [(4-x)(x+2)]/2.
J'ai trouvé MN = (-x²+2x+8)/2.

Pour ME, j'ai utilisé Pythagore, et trouvé ME = x+2.

Est-ce-que ces deux premiers résultats sont bons, déjà ?

Bonne année au passage pour ceux qui liront, et les autres
Et merci, comme d'habitude !

[Anneauprincipal]

Bon alors pour calculer f(x) c'est simple (ou presque)

f(x)=1/2*ME(x)*MN(x)

ME=racine(4+x^2) (je sais pas vraiment comment t'as trouvé 4+x avec Pythagore).
Pour MN c'est un plus long, je détaillerai si tu veux en fait

MN(x)=racine((4-x)^2+BN^2) avec BN=1/2*x*(4-x)

J'éspère que ça t'aidera à démarrer.

[Mobster]

Merci pour les résultats.
Pour ME j'avais réduit racine(4+x²) en 2+x, mais j'étais pas sûr.
Ensuite pour MN, je veux bien des détails xD
Merci, et bienvenue, au fait ;^)

[Anneauprincipal]

Bienvenue )

RACINE CARRE N'EST PAS UNE OPERATION LINEAIRE !!!!

Bon, ceci étant dit, pour BN :

Je passe par l'analyse (je pense qu'il y a plus simple, mais c'est ma méthode):

tu poses A=(-4;0) E=(-4;-2) B=(0;0) N=(0;u) (points du plan)

BN=valeurabsolue(u)

L'équation de la droite passant par (-4+x;0) et E est :g(t)=a*(t-(-4+x)) a dans R.
g passe par E donc -2=a*(-4+4-x) d'où a=2/x

la droite h(t) passant par M et N a pour équation h(t)=b*(t-(-4+x))

(car s'annule en M)

avec b=-1/a car les deux droites sont orthogonales.

et en fait BN=h(0)=-1/a*(-4+x)=1/2*x*(4-x) et là je m'aperçois que je m'étais planté dans mon premier post :marteau:

Puis MN=racine(BM^2+BN^2)

[Anneauprincipal]

Pour la suite :
finalement
f(x)=1/2**= CAR x est dans [0;4[ !!!

Pour les variations, on va pas se casser la tête :

on pose U= , U est croissante, et f'=U'V+UV' avec

V=

Je te laisse remarquer que f est maximale en 2 donc que f(x)<=f(2)

[Mobster]

Merci encore.
Par contre, je ne comprend pas quand tu dis BN = t.
BN = |t| plutôt non ? Car chez moi, l'ordonnée t de N est forcément négative si on se fie à ton repérage.
Ah, tu viens de corriger xD

[Mobster]

Ce que tu apelles g est la droite qui passe par M et E ?
Edit : L'équation de la droite passant par (-4+x;0) et E est :g(t)=a*(t-(-4+x)) a dans R.
g passe par E donc -2=a*(-4+4-x) d'où a=2/x

la droite h(t) passant par M et N a pour équation h(t)=b*(t-(-4+x))

Je comprend pas ce que sont a et b. >_<

[Anneauprincipal]

C'est çà. (J'ai fait les changements qu'il fallait, la première version de mon post était foireuse).

[Mobster]

J'ai modifié mon post d'avant, peux-tu y jeter un coup d'oeil s'il te plait ?
C'est le post juste avant celui-là.

[Anneauprincipal]

a et b sont les coefficients directeurs des droites g et h . Comme g et h sont orthogonales, b=-1/a.

[Mobster]

Je crois que là tu utilises des choses que j'ai pas encore vu dans mon cours =S
Il existe une autre méthode où c'est celle qu'on apprend en lycée ? Si c'est le cas, je suis toujours aussi nul en maths xD

[Anneauprincipal]

Le seul truc un peu astucieux c'est le fait que b=-1/a, on peut le démontrer avec le produit scalaire (sinon, tu l'admets et puis basta) , tout le reste est bien au programme. Bon courage !

[Mobster]

D'accord, bin... Merci xD
Et sinon, c'est quoi un encadrement ?
Pour la question deux. Parceque je vois pas >_<

[Anneauprincipal]

Un encadrement c'est dire pour tout x de [0;2] il existe a et b réels tels que a

[Mobster]

D'accord.
Par contre, encore :
L'équation de la droite passant par (-4+x;0) et E est :g(t)=a*(t-(-4+x)) a dans R.
g passe par E donc -2=a*(-4+4-x) d'où a=2/x

la droite h(t) passant par M et N a pour équation h(t)=b*(t-(-4+x))

Comment je fais pour les trouver ces équations de droite ? Parcequ'à tous les coups ma prof va me compter ça faux si je lui balance l'équation sans explications.

[Anneauprincipal]

Soit f une fonction affine (une droite quoi)

Si f s'annule en a alors l'équation de f est f(x)=b*(x-a) avec b coefficient directeur de f.

[Mobster]

g(t)=a*(t-(-4+x)) => ici le coefficient directeur est a ?
h(t)=b*(t-(-4+x)) => et ici c'est b ?

[Anneauprincipal]

Effectivement ce sont bien ces coeffs.

[Mobster]

D'accord.
Encore une chose :
BN=h(0)=-1/a*(-4+x)=1/2*x*(4-x)
tu ne développe pas en BN=(-x²/2) + 2x ?

[Anneauprincipal]

Disons que l'écriture non développée laisse apparaitre les zéros de la fonction en x, et il faut d'une manière générale se ramener à une écriture scindée.