Matrice et applications linéaires : notations

[chombier]

Bonjour à tous,

Je suis en plein dans les espaces vectoriels de dimensions finies et applications linéaires, et je suis fort marri de voit que chaque cours introduit ses propres notations !! J'aimerais bien savoir laquelle vous utilisez et en quoi elle vous parait mieux que les autres.

J'aimerais bien en choisir une définitivement ! Et j'ai du mal !

La principale question est : met-on dans la notation B avant B' ou B' avant B ?

Cela va énormément changer, par exemple, la notation résumant le fait que la matrice associée à la composée de deux applications est le produit des matrices des deux applications. Dans un cas on va pouvoir travailler "à la Chasles", dans l'autre pas du tout.

Le problème se répète, et de façons beaucoup plus nette, quand E=F, avec les matrices de passage : qui n'a pas confondu et ? Et pour cause, leurs notation respectives peuvent être identiques si on change les conventions.

D'autant que la matrice de passage de B à B' est celle qui permet de calculer les coordonnées d'un vecteur dans la base B connaissant les coordonnées de ce vecteur dans la base B' (!!!)


Pour se fixer les idées, on notera E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et q,
une base de E,
une base de F,
une application linéaire de E dans F.

Soit M la matrice représentant l'application linéaire . Voici un petit florilège des notations pour cette matrice :

















Quelle est votre preferée, et pourquoi ? Merci d'avance pour toutes vos réponses !!

[capitaine nuggets]

Salut !

Quand j'étais en L1, j'avais , puis en L2, j'ai eu et (mais je ne l'aime pas celle là).

Dans ces notations, on mettais toujours avant pour préciser de quelle base on part, et dans quelle base on arrive (ça fait un peu une analogie avec les applications : et ).

[Monsieur23]

Aloha,

Pour moi : "Soit A la matrice de phi dans les bases B et B'", ça me paraît la meilleure solution…

[chombier]

Je continue mon trip J'ai choisi de faire un mix des deux notations, en gros :



I) Composée de deux applications linéaires

Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions respectives m, n et p
une base de E,
une base de F,
une base de G,
une application linéaire de E dans F.
une application linéaire de F dans G.

Soit x un élément de E. On pose et

On note le vecteur colonne représentant x dans la base .

On note

On note

On note

On note

On note

On a les égalités de matrices suivantes :
Y = AX
Z = BY = BAX = CX
C = BA

Avec la deuxième notation, l'écriture de ces égalités est plus naturelle :




Evidemment, le défaut c'est que [\varphi]_{B', B} désigne la matrice de avec B comme base de départ et B' comme base d'arrivée.

Avec l'autre notation, l'écriture des égalités est moins naturelle :




On ne peut plus appliquer une pesudo relation de Chales, mais la base de départ et la base d'arrivée sont plus lisibles.

A suivre : matrice de passage

[chombier]

Aloha,

Pour moi : "Soit A la matrice de phi dans les bases B et B'", ça me paraît la meilleure solution…

Entièrement d'accord, le mieux est de savoir de quoi on parle. Mais quand on n'est pas encore super à l'aise avec la notion, s'appuyer un peu sur les notations (sans oublier le sens qui est derrière, bien sur!!!) est, je pense, un petit plus.

[chombier]

Salut !

Quand j'étais en L1, j'avais , puis en L2, j'ai eu et (mais je ne l'aime pas celle là).

Dans ces notations, on mettais toujours avant pour préciser de quelle base on part, et dans quelle base on arrive (ça fait un peu une analogie avec les applications : et ).

Pas de relation de Chales alors.

En fait c'est la question centrale : mets-on B avant B' ou B' avant B

Sur les matrices de passage, te souvient-tu des notations ? Car dans mon souvenir, c'est encore plus confus ! (A cause de l'appellation qui est un peu foireuse je trouve) :

Si X représente x dans la base B,
Et si P est la matrice de passage de la base B à la base B'

On cherche X', qui représente x dans la base B', on croit qu'on est bien...

Eh ben non ! Il faut inverser P pour trouver x dans la base B'

[capitaine nuggets]

Pas de relation de Chales alors.

En fait c'est la question centrale : mets-on B avant B' ou B' avant B

Sur les matrices de passage, te souvient-tu des notations ? Car dans mon souvenir, c'est encore plus confus ! (A cause de l'appellation qui est un peu foireuse je trouve) :

Si X représente x dans la base B,
Et si P est la matrice de passage de la base B à la base B'

On cherche X', qui représente x dans la base B', on croit qu'on est bien...

Eh ben non ! Il faut inverser P pour trouver x dans la base B'

Moi j'ai toujours vu qu'on notais l'ancienne avant la nouvelle (comme les ensembles pour une application : départ puis arrivée). Après, j'ai également vu que la notation avec crochets [ ] pouvait désigner une matrice (ou vecteur) colonne : .
On notais la matrice de passage comme ça avec tes notations :++:
Je dois bien avouer que les appellations sont un peu foireuses comme tu dis, puisque ça m'a paumé pas mal de fois.

[zygomatique]

salut

une notation n'est (quasiment) jamais un pb ...

le pb c'est de savoir ce qu'elle est ....

quant au pb de P ou P^-1 et l'ordre un schéma commutatif résout l'affaire ::

soit :

f exprimée dans la base B par la matrice A
P la matrice de passage de la base B à la base B' P(B) = B'

alors on a ::





A est la matrice de f de (E, B) dans (E, B)
A' est la matrice de f de (E, B') dans (E, B')

donc

:lol3:

[Doraki]

Si je devais inventer une notation ce serait un truc comme



De sorte que

Et les matrices de passages ce sont ou une variante où on raccourcit le machin au milieu (puisque E est implicitement donné par B et B' on pourrait juste mettre un 1)

[chombier]

salut

une notation n'est (quasiment) jamais un pb ...

le pb c'est de savoir ce qu'elle est ....

quant au pb de P ou P^-1 et l'ordre un schéma commutatif résout l'affaire ::

soit :

f exprimée dans la base B par la matrice A
P la matrice de passage de la base B à la base B' P(B) = B'

alors on a ::





A est la matrice de f de (E, B) dans (E, B)
A' est la matrice de f de (E, B') dans (E, B')

donc

:lol3:

Intéressant le diagramme commutatif. Je vais regarder ça de plus près...

Sauf que je crois que si P est la matrice de passage de la base B à la base B', alors par convention



Et ton diagramme a l'air de dire l'inverse. Je vote pour

Il est fort possible que je me trompe

[zygomatique]

pour les conventions :: à voir effectivement ce qu'on appelle matrice de passage de la base B à la base B' ... pour corriger le diagramme ....

oui c'est évidemment ..

[Ben314]

Aloha,
Pour moi : "Soit A la matrice de phi dans les bases B et B'", ça me paraît la meilleure solution…

Entièrement d'accord, le mieux est de savoir de quoi on parle. Mais quand on n'est pas encore super à l'aise avec la notion, s'appuyer un peu sur les notations (sans oublier le sens qui est derrière, bien sur!!!) est, je pense, un petit plus.

Perso, je suis 100% d'accord avec Monsieur 23 et je ne pense absolument pas que "de s'appuyer sur les notations" soit une bonne idée.
D'expérience (de prof...) de vouloir "s'appuyer sur les notations", c'est surtout un coup à écrire de grosses conneries.
Et concernant le "problème de notation", ne cherche pas trop, ça provient en grande partie de la notation usuelle "préfixée" pour les fonction, c'est à dire f(x), fait que, lorsque l'on doit appliquer la fonction f puis la fonction g, ça donne gof avec g écrit "en premier".
Et comme le produit matriciel, c'est jamais que la composition d'applications linéaires...

Par exemple, avec la notation proposée par Doraki, pour que tout marche bien, si f:E->F, il faut mettre la base de E à droite et celle de F à gauche, ce qui, de nouveau, peut sembler un peu bizarre vu qu'à peu prés tout le monde écrit E->F avec E à gauche et F à droite.

[chombier]

Ok, merci à tous, c'est plus clair maintenant :zen:

Je vais donc appeler la matrice de passage de l'application avec comme base de départ et comme base d'arrivée, et la noter qui est la plus proche de la rédaction attendue, et aussi quelque part la plus logique car B est bien la base de départ et B' la base d'arrivée.

Je sais que c'est mal, mais je note tout de même :



Reste le mystère des matrices de passage. :help:

Soient B et B' deux bases d'un même espace vectoriel E de dimension finie n,
x un élément de E,
le vecteur des coordonnées de x dans la base B et
est le vecteur des coordonnées de x dans la base B' :

Dans tous les cours que j'ai lus, la matrice de passage M de la base B vers la base B' s'obtient en écrivant les coordonnées des vecteurs de B' dans la base B (en colonnes) :



Autrement dit,

Pour respecter la rédaction, je choisi la notation pour la matrice de passage de la base B vers la base B'.

On a exprimé les vecteurs de B' en fonction de ceux de B.
Ainsi, si on connait les coordonnées d'un vecteur dans la base B', il est facile de retrouver ses coordonnées dans la base B :







La matrice de passage de la base B à la base B' permet donc de passer des coordonnées d'un vecteur dans la base B' aux coordonnées de ce même vecteur dans la base B :mur:


On peut voir les choses autrement, et cela va peut-être m'éclairer.

Une matrice de passage peut être vue comme la matrice de l'application identité.
Vu comme elle a été construite :



M est la matrice représentant l'application identité de la base B' dans la base B.



Ca ne m'aide pas du tout !!! C'est encore "à l'envers" (dans ma tête). Est-ce que j'ai merdé quelque part ? (notations, calculs, raisonnement, rédaction...?) Et si non, comment dois-je me représenter la matrice de passage d'une base vers une autre pour que le nom qu'on lui donne soit en harmonie avec la façon dont on la constuit, dont on s'en sert ?

[Doraki]

je trouve que c'est surtout l'appellation "passage de B vers B'" qui est à l'envers puisque c'est la matrice qui prend les coordonnées d'un vecteur exprimé dans la base B' et qui renvoie ses coordonnées exprimé dans la base B.

D'ailleurs j'évite le plus possible d'utiliser cette tournure puisque je sais que je vais me gourrer à chaque fois que je l'utilise.

[paquito]

En fait, c'est surtout utilisé dans les problèmes de diagonalisations; si on note A la matrice de dans la base canonique B, la matrice P transforme en , B' étant dans ce cas une base de vecteurs propres, donc facile à déterminer et son appellation est logique, mais on a:

, mais bien sûr, si l'on veut D, on a et tout est inverser.

Donc si on veut A dans la base B sans se planter, il faut écrire, après on s'y retrouve.

[chombier]

En fait, c'est surtout utilisé dans les problèmes de diagonalisations; si on note A la matrice de dans la base canonique B, la matrice P transforme en , B' étant dans ce cas une base de vecteurs propres, donc facile à déterminer et son appellation est logique, mais on a:

, mais bien sûr, si l'on veut D, on a et tout est inverser.

Donc si on veut A dans la base B sans se planter, il faut écrire, après on s'y retrouve.

C'est là que statistiquement, 49,9% des élèves se plantent.

On a :
- B la base canonique de R^n
- B' la base des vecteurs propres de :
-
-
-

D'où

Ce qui nous amène à :









Une fois de plus, je suis tout sauf à l'abris d'erreurs !!!

La notation est foireuse à mon avis. Mais je n'ai pas mieux à suggérer.

[paquito]

C'est là que statistiquement, 49,9% des élèves se plantent.

On a :
- B la base canonique de R^n
- B' la base des vecteurs propres de :
-
-
-

D'où

Ce qui nous amène à :









Une fois de plus, je suis tout sauf à l'abris d'erreurs !!!

La notation est foireuse à mon avis. Mais je n'ai pas mieux à suggérer.

Il faut retenir où les colonnes de P sont les coordonnées de B dans B'. Juste un petit effort.

[chombier]

Il faut retenir où les colonnes de P sont les coordonnées de B dans B'. Juste un petit effort.

Certes, mais retenir, ça ne m'intéresse pas en soi, ça et je sait faire, en plus.

Ce qui m'intéresse c'est comprends et savoir refaire.

[Ben314]

A mon sens, ce qu'il faut "retenir", c'est que le produit matriciel, ça se fait "ligne par colonne" et que ça signifie que quand tu fait AX où A est une matrice nxm et X un vecteur colonne de taille m, le résultat, c'est x1C1+x2C2+...+xmCm où les xi sont les composantes de X et les Ci les colonnes de A.
Ça te permet de voir que, si les colonnes de A sont les vecteurs d'une certaine base B exprimés dans une base Q, le X par lequel tu multiplie, ses composantes doivent être des coordonnées dans la base B (et le résultat, c'est les coordonnées du même vecteur dans la base Q).
Si ça te rassure (ou au contraire pas trop...) de tout les collègue avec lesquels j'ai enseigné l'algèbre linéaire, il n'y en a pas un seul qui sait "par cœur" de quel coté on met P et de quel coté on met P^-1 : tous on besoin de 10 secondes pour retrouver le résultat.

[chombier]

A mon sens, ce qu'il faut "retenir", c'est que le produit matriciel, ça se fait "ligne par colonne" et que ça signifie que quand tu fait AX où A est une matrice nxm et X un vecteur colonne de taille m, le résultat, c'est x1C1+x2C2+...+xmCm où les xi sont les composantes de X et les Ci les colonnes de A.
Ça te permet de voir que, si les colonnes de A sont les vecteurs d'une certaine base B exprimés dans une base Q, le X par lequel tu multiplie, ses composantes doivent être des coordonnées dans la base B (et le résultat, c'est les coordonnées du même vecteur dans la base Q).
Si ça te rassure (ou au contraire pas trop...) de tout les collègue avec lesquels j'ai enseigné l'algèbre linéaire, il n'y en a pas un seul qui sait "par cœur" de quel coté on met P et de quel coté on met P^-1 : tous on besoin de 10 secondes pour retrouver le résultat.

Si, ça me rassure : parce que s'ils ne retrouvent pas le résultat par coeur, c'est qu'ils ont besoin de réfléchir à ce qu'il se passe exactement.

Mon prof de fac nous a dit exactement la même chose : je ne sais pas par coeur, je dois reconstituer le processus.