Geometrie dans l'espace TS

[Falbala63]

Bonjour à tous, voilà j'ai quelques soucis sur un DM de maths...

Voivi un exercice : Soit ABCD un tétraèdre. On considère le point I milieu de [AC] et J milieu de [BD]. Les points P,Q,R et S sont définis par : vectAP = 1/3vectAB , vect AQ = 1/3vectAD, vectCR = 1/3vectCB et vectCS =1/3vectCD.
On considère le repère (A,vect AB,vect AC, vect AD)

1) déterminer les coordonnées des point I,J,P,Q,R et S.
Ca c'st bon j'ai réussi...
2) Determiner des représentations paramétriques des droites (PS),(qR) et (IJ).
Ca aussi j'ai réussi...
3) Montrer que ces trois droites sont concourantes.
Et là je bloque, dois-je faire une égalité des systèmes ?

S'il vous plait aidez moi, j'ai un peu de difficulté.. :hein:
Merci !

PS : "vect" veut dire vecteur mais je n'ai pas pu faire le signe.

[capitaine nuggets]

Salut !

Utilise la question précédente : si ces trois droites (non deux à deux parallèles) sont concourantes alors leur intersection est un unique point. Trouve donc par le calcul les coordonnées de ce point :++:

[siger]

bonjour

sans connaitre tes resultats il est difficile d'etre precis.....

chaque droite est definie par un systeme de trois equations comme (pour la droite (PS))
x = xP + K*(PSx)
y = yP + K*(PSy)
z = zP + K*(PSz)
et de meme pour les deux autres droites

si les droite (PS) et (QR) sont concourantes on doit avoir deux coefficients qui verifient le systeme (PS)=5QR), ce qui conduit aux coordonnees du point d'intersection M
si la troisieme droite est concourantes son equation doit etre verifiée pour les coordonnees de M

[Falbala63]

J'ai trouvé pour (PS) : x = -1/3k+1/3
y = 2/3k
z = 1/3k

Et pour (QR) : x = 1/3k
y = 2/3k
z = -1/3k+1/3

Cela voudrait dire qu'il faut que je fasse x(PS) = x(QR) ?
Parce que j'ai essayé de faire ça et j'ai trouvé k=1/2...

[siger]

re

le coefficient n'est pas me meme pour (PS) et (QR) ( il n 'y a aucune raison)
(PS)
x = 1k/3 + 1/3
...
(QR) x = µ/3
...
on doit donc avoir
(en supprimant les facteurs 1/3)
3x = -k+1 = µ
3y =2k=2µ
3z = k = -µ+1
d'ou
µ + k = 1
k = µ
et µ = k =1/2
on retrouve ton resultat... (mais tu as supposé a priori dans tes equations que k=µ!)

sauf erreur les coordonnees de M sont donc x= 1/6, y = 1/3, z = 1/6
a verifier maintenant que ces coordonnees verifient l'equation de (IJ)
.....

[Falbala63]

Re

Ah oui d'accord ! Donc après pour les coordonnées du ppint M je remplace k par 1/2. Mais pour (IJ) je trouve :
x = 1/2k
y =-1/2k + 1/2
z = 1/2 k

Ça doit forcément être égal auc coordonnées de M ?

[siger]

re

oui
si les droites sont concourantes....
d' ou
xM = m/2 = 1/6
yM = -m/2 +1/2 = 1/3
zM = m/2 = 1/6

doit donc avoir une soluton en m, ce qui est le cas .....

attention : des droites differentes ont des coefficients differents k, µ ,m, ......
ici on oublie k qui a permi de calculer les coordonnees de M, qui sont seules utilisées

[Falbala63]

Ah d'accord je comprend mieux. Merci beaucoup en tout cas !
et est ce que je peux mettre k1,k2 et k3 au lieu de k, m etc... ?

[siger]

re

bien sur
c'est un coefficient de proportionnalité que tu peux appeler comme tu veux:
k, k25, coeff, milou, jules , .... :ptdr:

[Falbala63]

En fait non, je n'ai pas compris avec xM, yM et zM je n'arrive pas à trouver !

[Falbala63]

Ah oui parce que ça me perturbe de mettre m ou autre chose ^^

[Falbala63]

re

oui
si les droites sont concourantes....
d' ou
xM = m/2 = 1/6
yM = -m/2 +1/2 = 1/3
zM = m/2 = 1/6

doit donc avoir une soluton en m, ce qui est le cas .....

attention : des droites differentes ont des coefficients differents k, µ ,m, ......
ici on oublie k qui a permi de calculer les coordonnees de M, qui sont seules utilisées

Je n'arrive pas à trouver la solution en m...

[siger]

re

la valeur de m importe peu, ce qui importe c'est qu'une valeur particuliere de m donne un systeme valide

tu as un systeme de trois equations qui doivent etre verifiees simultanement pour que ce systeme represente une equation parametrique de la droite (IJ)
tu as d'autre part les coordonees d'un point M

pour que le point soit sur la droite, il faut que les coordonnees de M soient telles que le systeme ait une solution

on verifie alors qu'on trouve effectivement qu'il existe un coefficent permettant de valider le systeme ( m= 1/3)
ou dit autrement
si m = 1/3 on constate effectivement que la droite passe par M puisque l'on trouve
x= (1/3)/2= 1/6
y= -(1/3)/2 + 1/2 = 1/3
z=(1/3)/2=1/6

a contrario si on avait un point M(1/6:1/6;1/6) on ne pourait pas trouver une valeur de m qui permettent de verifier les trois equations a la fois....

[Falbala63]

Ah mais d'accord, pour le y je trouvais pas 1/3 c'est pour ça que je comprennais pas, mais je viens de réaliser que j'avais fait une erreur de calcul...
J'ai compris maintenant, je vous remercie, bonne journée ! :)