Probabilités: un stylo tombe sur un bloc-note

[arthur99]

Bonjour,

Aussi bizarre que cela puisse sembler, j'ai depuis longtemps buté sur le problème suivant:

Supposons qu'un rectangle d'aire A soit dessiné sur un bloc-note d'aire B. En me tenant au dessus du bloc-note, je laisse tomber, au hasard, un stylo à l'horizontal sur le bloc note. Le stylo est assimilé à un rectangle d'aire C (B >> C > A). Quelle est la probabilité qu'une partie au moins du rectangle d'aire C (le stylo) touche une partie au moins du rectangle d'aire A (le dessin) ?

Je n'arrive pas à résoudre le problème sans définir des coordonnées et intégrer, pourtant, je suis sûr qu'il existe une solution élégante à ce problème...

Je vous remercie d'avance pour votre aide !

EDIT

[DamX]

Bonjour,

Aussi bizarre que cela puisse sembler, j'ai depuis longtemps buté sur le problème suivant:

Supposons qu'un rectangle d'aire A soit dessiné sur un bloc-note d'aire B. En me tenant au dessus du bloc-note, je laisse tomber, au hasard, un stylo à l'horizontal sur le bloc note. Le stylo est assimilé à un rectangle d'aire C (A >> C > B). Quelle est la probabilité qu'une partie au moins du rectangle d'aire C (le stylo) touche une partie au moins du rectangle d'aire A (le dessin) ?

Je n'arrive pas à résoudre le problème sans définir des coordonnées et intégrer, pourtant, je suis sûr qu'il existe une solution élégante à ce problème...

Je vous remercie d'avance pour votre aide !

Hello,

le stylo peut-il avoir un angle quand il tombe ? ou les deux rectangles (le bloc-notes et le stylo) sont-ils "parallèles". C'est ton terme "à l'horizontal" qui me met le doute.

Si c'est oui, ça ressemble vaguement à une variante du problème des aiguilles de Buffon, http://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon, mais avec les effets de bords qui vont intervenir à cause de la finitude du bloc-notes et l'épaisser du crayon, je doute qu'il y ait une solution très "élégante".

Damien

[dlzlogic2]

Bonjour,
Il y a une variante amusante.
On prend une feuille de papier quadrillé.
On prend un cheveu que l'on coupe en 4.
On laisse tomber ces 4 cheveux et on compte le nombre de carreaux traversés.
On recommence l'opération un certain nombre de fois.
Après 2 ou trois opération on obtient une bonne approximation de pi.
Si on a oublié que pi vaut à peu près 3.14159265 on peut utiliser cette méthode. :id:

[arthur99]

Hello,

le stylo peut-il avoir un angle quand il tombe ? ou les deux rectangles (le bloc-notes et le stylo) sont-ils "parallèles". C'est ton terme "à l'horizontal" qui me met le doute.

Si c'est oui, ça ressemble vaguement à une variante du problème des aiguilles de Buffon, http://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon, mais avec les effets de bords qui vont intervenir à cause de la finitude du bloc-notes et l'épaisser du crayon, je doute qu'il y ait une solution très "élégante".

Damien

Oui, il peut avoir un angle dans le plan du bloc-note. Merci pour le lien, je vais aller voir ça...

[arthur99]

C'est vrai que la disposition du problème est similaire. Cela dit, j'ai du mal à voir comment je pourrais appliquer le raisonnement à mon cas. Est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

Ce qui est embêtant dans ce problème, c'est le fait que la cible et le projectile aient une dimension. Si on supposait que le stylo était un point matériel, alors, le problème serait simple: P= Aire cible/Aire totale. Du coup, je me suis demandé s'il n'était pas possible de réduire le projectile à un point matériel et de "compenser" en augmentant la taille de la cible. Qu'est-ce que vous en pensez ?

[beagle]

bah, ton problème déjà est très mal défini.
le stylo est-il entièrement, sans dépasser au-dessus du bloc note?
Le stylo est-il laché à chaque fois d'un endroit différent = au hasard au-dessus du bloc note

déjà qu'il faut qu'il tombe bien à plat sans rouler, sans se déporter , sans ceci cela,
j'ai du mal déjà physiquement,...

Quant à ton dessin, on ne le voit pas,
si le stylo est grand,
si le rectangle dans le bloc note est énorme, si ...

il est fait mention d'un dessin, tu peux au moins le décrire ?

ou bien le problème est tous les stylos dans tous les rectangles de tous les blocs notes.

[arthur99]

bah, ton problème déjà est très mal défini.
le stylo est-il entièrement, sans dépasser au-dessus du bloc note?
Le stylo est-il laché à chaque fois d'un endroit différent = au hasard au-dessus du bloc note

déjà qu'il faut qu'il tombe bien à plat sans rouler, sans se déporter , sans ceci cela,
j'ai du mal déjà physiquement,...

Quant à ton dessin, on ne le voit pas,
si le stylo est grand,
si le rectangle dans le bloc note est énorme, si ...

il est fait mention d'un dessin, tu peux au moins le décrire ?

ou bien le problème est tous les stylos dans tous les rectangles de tous les blocs notes.

Bonjour Beagle,

Je vais essayer d'être plus précis. Peut-être que de parler d'un stylo "lâché" au-dessus d'un bloc-note complique inutilement les choses. Je l'ai expliqué comme ça parce que c'est ainsi que le problème m'est "apparu".
Disons que le stylo est placé, au hasard, par quelqu'un qui a les yeux bandés sur le bloc-note. Quelque part, sur ce bloc-note, se trouve un rectangle dessiné. Quelle est la probabilité que le stylo placé sur le bloc-note touche, entièrement ou en partie, le rectangle dessiné. Je ne m'intéresse pas aux effets aux bords. Pour simplifier, on peut supposer que les bords se rejoignent.

Concernant les dimensions: le bloc-note est bien plus grand que le stylo. Le stylo est plus grand que le rectangle

Merci pour ton intérêt.

[beagle]

Bon le problème de l'aiguille de Buffon, c'est très intéressant,
mais tout ceci dépasse mon niveau, les aiguilles du bouffon j'aurais eu mes chances!

Sinon, existe-t-il une seule ou plusieurs surfaces où le stylo pourrait tomber sans ètre à cheval sur le fameux rectangle?Proba de tomber dans la surface qui n'est pas le rectangle est-ce plus facile ou pas?

[arthur99]

Sinon, existe-t-il une seule ou plusieurs surfaces où le stylo pourrait tomber sans ètre à cheval sur le fameux rectangle?Proba de tomber dans la surface qui n'est pas le rectangle est-ce plus facile ou pas?

Je dirais intuitivement qu'il est plus probable de ne pas toucher le rectangle, mais toute la question est de connaitre cette probabilité en fonction de A, B et C.

[DamX]

Je dirais intuitivement qu'il est plus probable de ne pas toucher le rectangle, mais toute la question est de connaitre cette probabilité en fonction de A, B et C.

Questions complémentaires avant de pouvoir tenter de faire quelque chose :

- Préciser ce que signifie "le stylo est posé au hasard" : est-ce que ça veut dire : le centre du stylo est situé au hasard (de loi uniforme) dans la surface du bloc-notes, et l'orientation du stylo est aléatoire uniforme sur [0,pi] (pas besoin d'aller jusqu'à 2Pi parce qu'il est symétrique) ? Dans ce cas le stylo peut dépasser du bloc-notes (si le centre est près du bord). Ou est-ce que le stylo doit tenir entièrement dans le bloc-notes ?

- Le rectangle dessiné sur le bloc-notes est-il "droit" (lignes parallèles avec le bloc notes) peut-il être orienté également, comme le stylo.

Damien

PS : je pense qu'il faudra commencer par voir ce que ça donne dans le cas où le stylo est infiniment fin (un trait), puis étendre au cas de largeur non nulle si c'est faisable.

[arthur99]

Questions complémentaires avant de pouvoir tenter de faire quelque chose :

- Préciser ce que signifie "le stylo est posé au hasard" : est-ce que ça veut dire : le centre du stylo est situé au hasard (de loi uniforme) dans la surface du bloc-notes, et l'orientation du stylo est aléatoire uniforme sur [0,pi] (pas besoin d'aller jusqu'à 2Pi parce qu'il est symétrique) ? Dans ce cas le stylo peut dépasser du bloc-notes (si le centre est près du bord). Ou est-ce que le stylo doit tenir entièrement dans le bloc-notes ?

- Le rectangle dessiné sur le bloc-notes est-il "droit" (lignes parallèles avec le bloc notes) peut-il être orienté également, comme le stylo.

Damien

PS : je pense qu'il faudra commencer par voir ce que ça donne dans le cas où le stylo est infiniment fin (un trait), puis étendre au cas de largeur non nulle si c'est faisable.

Oui, le centre du stylo est posé au hasard (loi uniforme) de même que l'orientation (entre 0 et pi). Comme dit, cela simplifierait le problème de considérer que les bords se rejoignent (si le stylo dépasse sur la droite, le bout qui dépasse est reporté sur la gauche du bloc-note).

Oui, le rectangle est dessiné dans l'alignement du bloc-note (les côtés du bloc-note et ceux du rectangle sont parallèles 2 à 2)

Simplifier le problème me semble une très bonne idée. Considérer le rectangle comme un segment me semble approprié.

[fatal_error]

hello,

pour un angle donné la proba que le stylo il touche le rectangle c'est genre
la somme des positions ou il touche divisée par toute les positions.

Si on prends la pointe du stylo comme "ancre", alors on peut translater le stylo sur la direction donnée par theta.

Code: Tout sélectionner

.
 +
  +     .
   +     +
          +
           +


du coup pour couvrir le gros rectangle, ben on a B possibilités...
pour couvrir le petit, c'est plus délicat il faut trouver le rectangle englobant : rectangleE

Code: Tout sélectionner

 +
  +               rectangleE
  +------+        H+------+G
  | +    |        +|     +|
  |      |l      + |    + |
  +------+     E+--+--F+--+
      L         | +D   | +C
                |+     |+
               A+------+B

si on prend l,L les dimensions de l'englobé, L--> , l|
on peut se restreindre à theta de 0 à pi/2
car symétrie dans les autres cardans, donc proba de couvrir rectangleA identique
Ensuite, la surface à couvrir c'est Aire(ABFE)+Aire(FBCG)+Aire(EFGH)
E(theta) = A+d(lcos(theta)+Lsin(theta))

puis on calcule l'intégrale pour tout theta dans le cardan
E_total = 2/PI * (A*PI/2+d(L+l))
et donc la proba que le stylo couvre A est
P(stylo couvre A) = 1/B(A+2/PI*d(L+l))

un montecarlo pour checker:

Code: Tout sélectionner

function get_line_intersection(p0_x, p0_y, p1_x, p1_y,
    p2_x, p2_y, p3_x, p3_y)
{
  var s1_x, s1_y, s2_x, s2_y;
  s1_x = p1_x - p0_x;     s1_y = p1_y - p0_y;
  s2_x = p3_x - p2_x;     s2_y = p3_y - p2_y;

  var s, t;
  s = (-s1_y * (p0_x - p2_x) + s1_x * (p0_y - p2_y)) / (-s2_x * s1_y + s1_x * s2_y);
  t = ( s2_x * (p0_y - p2_y) - s2_y * (p0_x - p2_x)) / (-s2_x * s1_y + s1_x * s2_y);

  if (s >= 0 && s = 0 && t = this.anchor.x && p.x = this.anchor.y && p.y <= this.anchor.y + this.l
  return onX && onY;
}
Rectangle.prototype.area = function(){
  return this.L*this.l;
}
Rectangle.prototype.randomAnchor = function(){
  return {
    x:random(0,this.L),
    y:random(0,this.l)
  }
}
Rectangle.prototype.center = function(){
  return offset(this.anchor, {x:this.L/2, y:this.l/2});
}
function sim(){
  var N = 100000;
  var count = 0;
  var pen = new Pen(40);
  var L = 1000;
  var l = 800;
  var rectangleB = new Rectangle(L,l, {x:0,y:0});
  var LA = 10;
  var lA = 30;
  var rectangleA = new Rectangle(LA,lA, offset(rectangleB.center(), {x:-LA/2, y:-lA/2}));
  for(var i=0; i<N; ++i){
    var theta = random(0, Math.PI*2);
    var coord = rectangleB.randomAnchor();
    pen.update(coord, theta);
    if(pen.overlaps(rectangleA)){
      count++;
    }
  }
  var result = count/N;
  console.log('got : ', result);
  var thetaSum = rectangleA.area()+2/Math.PI*pen.d*(rectangleA.L+rectangleA.l);
  var expected = thetaSum/rectangleB.area();
  console.log('expected : ', expected);
}
sim();


Code: Tout sélectionner

got :  0.00165
expected :  0.0016482395447351627


[paquito]

Bonjour,
Il y a une variante amusante.
On prend une feuille de papier quadrillé.
On prend un cheveu que l'on coupe en 4.
On laisse tomber ces 4 cheveux et on compte le nombre de carreaux traversés.
On recommence l'opération un certain nombre de fois.
Après 2 ou trois opération on obtient une bonne approximation de pi.
Si on a oublié que pi vaut à peu près 3.14159265 on peut utiliser cette méthode. :id:

Encore un qui a tout compris à la loi des "tous petits nombres"! Moi j'ai les cheveux rasés; comment je fais? :marteau:

[dlzlogic2]

Pour mémoire, l'auteur de cet "méthode" qui s'inspire directement de l'Aiguille de Buffon, a prévu les cheveux rasés et il précise qu'on peut prendre un bout de fil à la place. (Ref un journal professionnel).