Matrice bloc et diagonalisation

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exo sur de la diagonalisation de matrice écrite en bloc, mais je n'avance pas d'un pouce depuis un moment.


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Soient .

Soit la matrice de écrite en bloc :


On suppose que est diagonalisable.

Je dois montrer que et sont diagonalisables, et qu'il existe telle que

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J'ai essayé de partir d'abord sur la définition d'une matrice diagonalisable : avec H diagonale et P matrice d'ordre 2n diagonale,
puis de regarder les coefficients de pour essayer de voir si je pouvais en tirer quelque chose concernant A,B et C...

Mais à part des calculs et des sommes, ça me mène nulle part.

J'essayais aussi d'étudier les espaces propres de A et B, mais à part le fait que les valeurs propres de M sont valeurs propres de A ou valeurs propres de B (car où sont les polynômes caractéristiques de M, A et B),je ne vois pas grand-chose.
En plus, je pense pas que ça me permette de trouver D telle que C=AD-DB...

Et je ne trouve pas d'autres idée..

Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d’avance pour vos réponses

[Ben314]

Tu as toujours pas la notion de polynôme minimal ?

Par exemple un truc assez trivial à montrer à l'aide du polynôme minimal, c'est que, si un endomorphisme f de E est diagonalisable et si F est un s.e.v. stable par f (i.e. ) alors la restriction de f à F est aussi diagonalisable (ça doit être aussi démontrable sans polynôme minimal, mais c'est plus ch...)
Ici, par exemple, ça te vendrait immédiatement que A est diagonalisable (car le s.e.v. engendré par les n premiers vecteurs de la base canonique est stable par M) et, surtout qu'il existe une matrice de changement de base rendant M diagonale qui a des zéros partout dans son bloc en bas à gauche.

[jonses]

Tu as toujours pas la notion de polynôme minimal ?

Toujours pas :triste:

Merci en tout cas pour les indications, je vais essayer de partir sur ce que tu proposes sans utiliser le polynôme minimal

[Ben314]

Toujours pas :triste:

Merci en tout cas pour les indications, je vais essayer de partir sur ce que tu proposes sans utiliser le polynôme minimal

Je pense que, d'une façon ou d'une autre, tu ne coupera pas à la démonstration de ce résultat vu que, pour obtenir le résultat demandé concernant l'existence de D telle que... tu va avoir besoin de l'existence d'une matrice de passage diagonalisant M et avec un bloc bas/gauche entièrement nul.
Sauf erreur, si tu dit juste "soit P une matrice de passage t.q. P^-1MP soit diagonale", tu n'arrivera pas à prouver que son bloc bas/gauche est nul vu que... ce n'est pas forcément le cas (dans le cas où une matrice M a des valeurs propres multiples, il y a des tas de matrices P relativement différentes telles que P^-1MP soit diagonale)