Polynome premiers entre eux

[ezril13]

Bonjour,

Ce résultat a été utiliser en cour mais je n'arrive pas à le démontrer.

Soit A et B deux polynomes dans



Ce que j'ai essayé :
on suppose
Soit D tel que mais je ne vois pas comment démontrer que

[Ben314]

Salut,
Pour toutes les preuves de ce type, on suppose en plus que D est irréductible.
Donc, par exemple, de D|A²=AxA, tu déduit que D|A (dans un anneau euclidien, si un irréductible divise un produit, il divise l'un des deux)

[zygomatique]

salut

il ne me semble pas nécessaire d'avoir cette condition il me semble ....

si d divise a et b alors d divise aa et bb

si pgcd(a, b) = 1 alors d divise 1

donc d est scalaire donc pgcd(aa, bb) = 1 ...


non ?

EDIT : Ben non effectivement :marteau: .. j'suis fatigué ... j'vais allé manger ....

[Ben314]

Ben... non..
Le but est de montrer que, si pgcd(A,B)=1 alors pgcd(A²,B²)=1 et pas la réciproque (qui est bien plus triviale).

Et pour montrer que pgcd(A²,B²)=1, tu doit partir d'un D qui divise A² et B² (et pas d'un D qui divise A et B) alors que ta première phrase commence par "si D divise A et B alors..."

En fait, on peut aussi le faire avec Bézout en vérifiant que :

[ezril13]

Je n'arrive pas à obtenir 1 avec bézout.

Je dévellope et j'obtiens :
C'est donc égale à 1 ssi ?

[Ben314]