Continuité en 0 de : f(x+y)=f(x) + f(y)

[chan79]

salut
Supposons que f(x) soit encadré par deux réels A et B si x appartient à un intervalle ]-r;r[ et soit n un entier non nul.

Soit x un élément de ]0;2r/n[
0<x<2r/n
0<nx<2r
0<nx-r<r
A<f(nx-r)<B d'après l'hypothèse ci-dessus
A<f(nx)-f(r)<B
A+f(r)<f(nx)<B+f(r)
A+f(r)<n f(x)<B+f(r)
(A+f(r))/n<f(x)<(B+f(r))/n
Cela montre la continuité de f en 0 (à droite) puisqu'on peut s'arranger pour trouver n
afin que ](A+f(r))/n;(B+f(r))/n[ soit inclus dans tout intervalle

[BiancoAngelo]

Non, en fait elle vaut 1 pour tout les x rationnels et 0 pour tout les irrationnels donc elle n'est continue... nulle part...

Si tu veut "juste" une discontinuité en 0, tu peut te contenter d'un truc du style

Alors qu'il y a un théorème (très compliqué) qui te vend que, si une suite de fonctions continues fn converge vers une fonction f alors f sera forcément continue en une infinité de point et l'exemple que je t'ai donné est un "classique" pour prouver qu'une limite simple de limite simple de fonctions continues peut être continue nulle part.

D'accord, mais alors, il faut en conclure quoi de ce théorème ? Qu'il n'est pas très utile ?

Et pour la limite de limite, c'est bien :



ou



ou c'est pareil ?

J'ai du mal à saisir si les limites s'accomplissent "simultanément" ou pas, car c'est pour ça que de prime abord j'avais répondu "1 en 0 et 0 partout sinon"...

[BiancoAngelo]

Ah oui je viens de saisir, à n fixé, les limites sont d'abord des 0, puis quand le n grandit, ca devient 1.
Ca s'éclaircit, mais il est temps pour moi de dormir :)

A plus tard et encore merci, et pas grave que tu aies parlé de mon esprit comme esprit "Lycée" :ptdr:

Ca fait plaisir de tomber sur des matheux qui en parlent (des mathématiques) avec générosité.

[OoYoussef]

Merci pour votre aide, mais qelqu'un peut me donner une reponse un peu precise... je n ai tjrs pas compris comment procéder

[chan79]

Merci pour votre aide, mais qelqu'un peut me donner une reponse un peu precise... je n ai tjrs pas compris comment procéder

Regarde ce que j'ai mis à 22h43 :zen:

[OoYoussef]

Ahh, javais pas vu, merci :D

[Ben314]

ou

Non c'est bien la première écriture, et elle est trés différente de la deuxième.
Dans le premier cas, la "limite de limite" existe pour tout réel x, alors que dans le deuxième cas, la limite n'existe que pour les x rationnels

Explication :
Quelque soit le réel x et l'entier n (fixés tout les deux), on a et le résultat classique concernant les suites géométriques te dit que, lorsque m tend vers +oo tend vers 0 sauf si q=1 où tend évidement vers 1.
De plus,
Bilan :

Reste à évaluer
- Si alors, pour tout on a donc et on en déduit que
- Si alors, pour tout , on a donc et on en déduit que

Si tu cherche a calculer les limites "dans l'autre sens", en commençant par (pour m et x fixés) alors, si x est rationnel la limite existe et vaut 1 mais, lorsque x n'est pas un rationnel, la limite n'existe pas forcément (peut-être pour certains non rationnels particulier, mais pas pour tous)

P.S. Je pense (peut-être à tort) que c'est une question difficile de savoir pour quels non rationnels la limite en question existe...

[BiancoAngelo]

Non c'est bien la première écriture, et elle est trés différente de la deuxième.
Dans le premier cas, la "limite de limite" existe pour tout réel x, alors que dans le deuxième cas, la limite n'existe que pour les x rationnels

Explication :
Quelque soit le réel x et l'entier n (fixés tout les deux), on a et le résultat classique concernant les suites géométriques te dit que, lorsque m tend vers +oo tend vers 0 sauf si q=1 où tend évidement vers 1.
De plus,
Bilan :

Reste à évaluer
- Si alors, pour tout on a donc et on en déduit que
- Si alors, pour tout , on a donc et on en déduit que

Si tu cherche a calculer les limites "dans l'autre sens", en commençant par (pour m et x fixés) alors, si x est rationnel la limite existe et vaut 1 mais, lorsque x n'est pas un rationnel, la limite n'existe pas forcément (peut-être pour certains non rationnels particulier, mais pas pour tous)

P.S. Je pense (peut-être à tort) que c'est une question difficile de savoir pour quels non rationnels la limite en question existe...

Merci. J'avais compris ce qu'il se passait au moment même où j'ai envoyé, mais bon ça pourra servir à qui s'interroge sur l'interversion des signes de limite :ptdr:

C'est vrai qu'en plus ça donne lieu à l'étude de l'autre limite dont tu parles, qui reflète bien à mon goût la propriété étonnante des valeurs d'adhérence de la suite sin(n).

Cette fois, j'éteins la lumière (et le cerveau ?). :marteau: :zen:

P.S. Je pense (peut-être à tort) que c'est une question difficile de savoir pour quels non rationnels la limite en question existe...

Je ne pense pas que tu aies tort :happy2:

[zygomatique]

On a montré que la fonction f est bornée sur l’intervalle [;)r,r] (avec r>0 ).
a)Montrer que, pour tout n;)N et pour tout x;)R, f(nx)=nf(x).
b)En revenant à la définition «en epsilon»,montrer que f est continue en 0.

je ne pense pas que la réponse de BiancoAngelo soit dans la logique du problème

car elle n'utilise pas ce qui précède :

a/ f est bornée sur tout intervalle [-r, r] (x dans [-r, r] ==> |f(x)| < M)
b/ f(nx) = nf(x)


pour ce qui est des fonctions "définies par une formule"

certes la formule de Ben314 est :ptdr: compliquée !!!! (et surtout en ce qui concerne sa question subsidiaire)

mais simplement la fonction valeur absolue pose déjà tant de problème au lycée .... qu'on contourne en écrivant que

:lol3:

[Ben314]

Bon, après, c'est un peu parti en quenouille, mais j'avais (moi aussi... :zen:) l'impression d'avoir répondu de façon relativement précise à la question :

Concernant l'exo, ce qu'il faut que tu montre, c'est que :

Si |f(x)|<=M pour tout x de [-r,r] alors, quelque soit l'entier non nul n,
on a |f(x)|<M/n pour tout x de [-r/n,r/n]

Puis que tu en déduise, à l'aide de la définition avec des epsilons, que f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

[zygomatique]

ha oui ... j'avais vu (hier) et zappé (aujourd'hui) tout comme la réponse de Chan79 qui répond sur le même principe ...