Problème à résoudre ( congruences ? )

par **Forzaken** » 29 Nov 2014, 12:38

Bonjour à tous,

Je suis en DUT info et je dois résoudre un problème en maths, après 1 ou 2h de réflexion je me suis vite aperçu que je tournais en rond alors je viens vous demander votre aide.
Le voici:

J'ai d'abord pensé à un système d'équations basiques et on se retrouve avec 2 inconnus et 3 lignes donc impossible. Ensuite j'ai pensé à un système de congruences tel que :

Mais je ne suis même pas sûr de ce que je viens de marquer au-dessus?
Merci par avance pour vos infos !

par **zygomatique** » 29 Nov 2014, 13:10

salut

oui et théorème des reste chinois ....

par **Forzaken** » 29 Nov 2014, 15:48

Ok merci ! je n'en ai jamais entendu parlé alors ça ne va pas être simple... En faisant la première étape j'arrive à cette conclusion : x=1496a + 2090b + 1292c modulo 3553

J'ai cherché mais j'ai du mal à comprendre la suite, quelqu'un pourrait m'aiguiller ?

par **zygomatique** » 29 Nov 2014, 16:36

tu trouveras des exemples sur le net ....

par **Ben314** » 29 Nov 2014, 22:25

Salut,
Il y a des tas de façons de rédiger ça, donc si le prof. ou le poly en impose une... tu prend celle là...
Perso, j'y vais petit bout par petit bout :

- La première relation te dit que

c'est à dire que

- La deuxième dit alors que

c'est à dire

et, comme 2 est inversible modulo 17 (car pgcd(2,17)=1) ça te donne sans calculs que

donc

et

- La troisième dit alors que

c'est à dire

.
Un petit calcul de tête (inutile de sortir Bézout dans un cas aussi facile) me montre que l'inverse de 4 modulo 11 est 3 :

donc je multiplie par 3 des deux cotés pour obtenir

donc

et

par **Forzaken** » 29 Nov 2014, 22:55

J'avais carrément pas compris ce qu'était être congru, alors tous les exemples sur le net me paraissaient incompréhensible. Bon ben je te remercie j'ai compris toutes les étapes, il ne me reste plus qu'à savoir les appliquer. Donc si je ne me trompe pas,

est la solution générale du système, et 2611+3553k où k=3 et k est un entier, donc il y a 2611+3553.3 = 13270 soldats
Merci pour votre aide je vais le refaire pour m'entrainer

par **Ben314** » 29 Nov 2014, 23:49

J'ai pas regardé la fin concernant le nombre de soldat entre tant et tant : il n'y a effectivement plus qu'à résoudre deux inéquation (d'inconnue k) pour trouver la ou les éventuelles solutions.
Et vu la largeur de l'intervalle final, à savoir 5000, et le coeff. devant le k, à savoir 3553, il y a effectivment soit une, soit 2 solution.
Je te fait confiance concernant le fait qu'il n'y en a bien qu'une.

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