Fonction indicatrice d'euler et congruences...

[romutoi]

Bonjour, dure dure l'algèbre.... si vous pouviez m'aider...

Soit ph la fonction indicatrice d'Euler. On connait la propriété suivante :
" Soit a c Z et n c N avec n > 2, premier avec a.
Alors on a : a^ph(n) congru a 1 modulo n. "

nb : j'ai noté a^ph(n) pour a puissance ph(n).

Je cherche à démontrer cette propriété. Je sais que dans le cas où n est premier on retrouve le petit théorème de Fermat mais cela ne m'aide pas à démontrer la propriété dans le cas général.

Merci d'avance de votre contribution...

romutoi

[ThSQ]

Ca se démontre exactement comme Fermat.

Dans (,x) à éléments, x inversible (ie premier avec n).

f : a -> a*x est isomorphisme de groupe (injectif donc bijectif blah blah).

et on simplife par

[romutoi]

Merci pour ta réponse aussi rapide mais peux tu détailler les étapes, je ne comprends pas trop... un peu perdu !!

[Purrace]

Nan mais la demonstration du dernier theoreme de fermat fait 500 pages et est imcomprehensible pour un eleve en MPSI .Donc si Thsq tu connait cette demontration?

Bien sur si tu fait reference a cette demonstration.

[aviateurpilot]

tel que est bijective (tu peux montrer ca??)
donc ce cas
par suite

[SimonB]

Nan mais la demonstration du dernier theoreme de fermat fait 500 pages et est imcomprehensible pour un eleve en MPSI .Donc si Thsq tu connait cette demontration?

Bien sur si tu fait reference a cette demonstration.

Merci de suivre... On parle ici de la démonstration du *petit* théorème de Fermat, pas du théorème de Fermat-Wiles (je trouve qu'il serait bien plus pratique de le dénommer comme ça tout le temps, ça éviterait de confondre avec l'autre qui a bien été montré par Fermat !).

(D'autre part, les arguments exposés par ThSQ sont de toutes façons hors programme en MPSI Mais bon...)

[Purrace]

Ouia mais j'ai deja remarquer qu'il connaissait beaucoup de truc hors programme , mais je me demande comment il peut prendre une telle avance ,connaissant le rythme de la prepa .En plus , je pense qu'il doit etre dans une ecole prestigieuse vu qu'il est sacrement intelligent, puree , je dis chapeau.Moi j'en fais pas autant.

[aviateurpilot]

Ouia mais j'ai deja remarquer qu'il connaissait beaucoup de truc hors programme , mais je me demande comment il peut prendre une telle avance ,connaissant le rythme de la prepa .En plus , je pense qu'il doit etre dans une ecole prestigieuse vu qu'il est sacrement intelligent, puree , je dis chapeau.Moi j'en fais pas autant.

on est pas besoin d'un prof ou une ecole pour avancé dans les cours, lol

[bitonio]

Une autre idée de démonstration assez analogue.

On considère qui contient (p-1) éléments (p est bien entendu premier!)

On a
Or, necessairement (Th de lagrange) tel que , donc on arrive à

Voila

[ThSQ]

La démo que j'ai donnée je l'avais lue dans un bouquin sur les groupes que j'ai commencé cet été (elle est pas de moi).
Mon prof de term avait commencé le prog de math sup l'an dernier. J'ai continué : y'a vraiment pas grand chose en math en term, même spé maths, ça permet de prendre un peu d'avance ;) J'ai de l'avance (seulement en maths !) mais ça se rattrape vite !

[SimonB]

La démo que j'ai donnée je l'avais lue dans un bouquin sur les groupes que j'ai commencé cet été (elle est pas de moi).

C'était d'ailleurs une question du premier sujet des Mines cette année.

Bon, cela dit, le théorème de Fermat, ce n'est pas le résultat le plus difficile que j'ai vu ThSQ exhiber

[yos]

Applique le th. de Lagrange dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ.