Exo congruences et Fermat

par **maxou22** » 09 Oct 2009, 10:00

Bonjour,
Je suis sur un exercice qui me résiste même si j'ai l'impression que je ne suis pas loin.
Enoncé:
n premier impair
Montrer que si un nombre premier p divise 2^(n)-1 alors 2n divise p-1.

Ma démarche:
p divise 2^(n)-1 donc il existe q dans Z / pq=2^(n)-1

n premier et pgcd(2,n)=1 car n est impair
donc j'applique Fermat: n divise 2^(n-1)-1 => 2n divise 2^(n)-1-1
=>2n divise pq-1

mais je n'arrive pas a montrer que p-1 est congru à 0 mod[2n]

Je suis là et je surveille le topic donc si vous voulez bien m'aider je peux répondre rapidement.
Merci d'avance pour vos idées

par **yos** » 09 Oct 2009, 11:16

p divise

(hyp.) ainsi que

(Fermat), donc il divise leur PGCD qui est

.

par **maxou22** » 09 Oct 2009, 13:02

D'accord il fallait remarquer la dernière égalité ^_^. Bon je planche sur sa démo. Merci pour l'explication Yos.

par **busard_des_roseaux** » 09 Oct 2009, 17:07

yos a écrit:p divise (hyp.) ainsi que (Fermat), donc il divise leur PGCD qui est .

Bonsoir Yos,

comment est-ce que tu conclues ?

par **skilveg** » 09 Oct 2009, 17:34

Bonsoir,

Personnellement, je considérerais l'ordre de

dans

(ce qui donne puisque

est premier

) et le fait que

et

soient impairs.

par **yos** » 09 Oct 2009, 17:39

busard_des_roseaux a écrit:comment est-ce que tu conclues ?

Salut.
eh ben le pgcd en exposant vaut 1 ou n car n est premier.
1 c'est exclu (comme

est multiple de p).
Donc ce pgcd est n, donc n divise p-1.
Par ailleurs 2|p-1 et 2 est premier à n donc 2n divise p-1.

par **mathelot** » 09 Oct 2009, 19:18

yos a écrit:eh ben le pgcd en exposant est multiple de p

je te prie de m'excuser. je ne vois pas :hum:

par **yos** » 09 Oct 2009, 19:27

Non, j'ai écrit trop vite; c'est l'autre pgcd qui est multiple de p :

Donc PGCD(n,p-1) peut pas valoir 1.
J'ai corrigé mon message précédent.

par **maxou22** » 09 Oct 2009, 19:45

Ok pour la conclusion.
Par contre pour le fait que pgcd(2^(n)-1, 2^(p-1)-1)=2^(pgcd(n,p-1))-1 , je trouve pas.
J'ai bien la division de droite à gauche (en passant par les series géometriques) mais dans l'autre sens...non
Je continue quand même.

Et aussi, j'aimerais bien savoir comment on fait pour écrire les expressions aussi joliment.

par **yos** » 09 Oct 2009, 20:03

De façon générale,

.
avec

pour PGCD.
On peut même faire encore plus général :

.

Suppose n>m. Si d divise le premier membre, il divise aussi

, c'est-à-dire

et tu peux descendre ainsi jusqu'à avoir le PGCD en exposant (algorithme d'Euclide).

par **yos** » 10 Oct 2009, 07:36

L'ensemble est donc assez contorsionné, et tout ça pour pas faire de théorie des groupes (cf message de skilveg).
On peut donner une autre preuve (pas vraiment différente, mais peut-être plus claire), qui colle un peu plus à la preuve algébrique :

On note E l'ensemble des entiers k>0 tels que

. Cet ensemble possède un plus petit élément e et une division euclidienne montre que

. Cet ensemble E contient n et p-1 et il est alors clair que e=n et donc que n|p-1.

par **maxou22** » 10 Oct 2009, 11:12

Contorsionné peut être mais instructif. Cela dit ta première demonstration fonctionne que si on sait que p-1 > n sinon 2n ne divise pas p-1

par **yos** » 10 Oct 2009, 11:26

p-1>n est une conséquence de la démonstration (je l'utilise pas il me semble).

par **maxou22** » 10 Oct 2009, 12:40

Oui c'est vrai que c'est que c'est pas nécessaire. :++:

par **yos** » 10 Oct 2009, 14:18

Cet exercice permet de montrer qu'un diviseur premier d'un nombre de Mersenne

(

, n premier > 2) est nécessairement de la forme 2kn+1.

par **maxou22** » 10 Oct 2009, 16:18

Heu ok c'est bon à savoir.
Je crois que je vais faire un petit tour sur wikipedia parce que quelque chose me dit que ca me sera bientôt utile.

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