Elle paraît simple, et pourtant ...

[Pythales]

Bonjour

Je cherche si l'intégrale peut se calculer par la méthode des résidus.
(trouver et un contour)
Sinon, je suis ouvert à toute méthode (par exemple dérivation sous le signe )
Merci

[Ben314]

Salut,
Dans ce type d'intégrale de fonctions ne dépendant que de cos(t) et sin(t) et où on intègre sur une période de la fonction, en général, le contours, il est "tout trouvé" : c'est le cercle trigo. Par exemple ici, tu écrit que :


Qui amène à priori à considérer la fonction qui est parfaitement définie sur le cercle trigo (vu que dans ce cas l'argument du log est un réel >=1).
Sauf qu'elle ne se prolonge pas au disque unité tout entier vu que, lorsque z parcours un minuscule cercle autours de 0, l'argument du log parcours (à peu prés) deux fois un très grand cercle qui fait le tour de l'origine et qu'on ne peut pas déterminer de fonction logarithme complexe sur un domaine qui fait le tour de l'origine.

Arrivé à ce point, je suggérerais bien un "bricolage" consistant à écrire (au brouillon vu que c'est intrinsèquement faux) que
et à traiter l'intégrale en deux morceaux : le premier morceaux avec des intégrales complexes et le deuxième avec des intégrales "normales".


Je regarde si ça permet de conclure...

[Pythales]

Salut,
Dans ce type d'intégrale de fonctions ne dépendant que de cos(t) et sin(t) et où on intègre sur une période de la fonction, en général, le contours, il est "tout trouvé" : c'est le cercle trigo. Par exemple ici, tu écrit que :


Qui amène à priori à considérer la fonction qui est parfaitement définie sur le cercle trigo (vu que dans ce cas l'argument du log est un réel >=1).
Sauf qu'elle ne se prolonge pas au disque unité tout entier vu que, lorsque z parcours un minuscule cercle autours de 0, l'argument du log parcours (à peu prés) deux fois un très grand cercle qui fait le tour de l'origine et qu'on ne peut pas déterminer de fonction logarithme complexe sur un domaine qui fait le tour de l'origine.

Arrivé à ce point, je suggérerais bien un "bricolage" consistant à écrire (au brouillon vu que c'est intrinsèquement faux) que
et à traiter l'intégrale en deux morceaux : le premier morceaux avec des intégrales complexes et le deuxième avec des intégrales "normales".


Je regarde si ça permet de conclure...

J'en étais arrivé au même point que toi (mêmes calculs), mais le fait que l'argument do log tende vers l'infini dans le cercle, sans coupure possible, me posait problème.

L'idée de couper en 2 est peut-être bonne. Je vais la creuser

Merci.

[Pythales]

L'ennui, c'est que z^4+6z^2+1 s'annule aussi dans le cercle unité.

[Ben314]

Oui, mais de toute façon, je me rappelle plus quelle est "l'astuce" pour s'en sortir (alors que je suis quasiment sûr que ça se fait)

Sinon, un peu plus bourrin :

Or, si pour on pose alors et

donc

D'où

[Ben314]

Oui, mais de toute façon, je me rappelle plus quelle est "l'astuce" pour s'en sortir (alors que je suis quasiment sûr que ça se fait)

Sinon, un peu plus bourrin :

Or, si pour on pose alors et

donc

D'où

[Pythales]

Oui, mais de toute façon, je me rappelle plus quelle est "l'astuce" pour s'en sortir (alors que je suis quasiment sûr que ça se fait)

Sinon, un peu plus bourrin :

Or, si pour on pose alors et

donc

D'où

Bien vu. Merci.

Le fait que soit en facteur confirme qu'elle doit être calculable par les résidus.

Si jamais tu retrouves l'astuce ...

[Ben314]

Je pense avoir une solution, mais c'est un peu détourné : on ne regarde pas le log (réel) de départ comme une restriction d'une fonction log complexe, mais comme la partie réelle d'un log complexe.

Je m'explique :

Si on note Log la détermination "principale" du log sur et si sont deux réels tels que alors la fonction est méromorphe sur qui contient le disque fermé .
Son unique pôle est en 0 et, donc, si désigne le cercle trigo., .
Sauf que, par définition,
.
d'où, en identifiant les parties imaginaires,


Y'a plus qu'à appliquer à ton intégrale
où

[Pythales]

Je pense avoir une solution, mais c'est un peu détourné : on ne regarde pas le log (réel) de départ comme une restriction d'une fonction log complexe, mais comme la partie réelle d'un log complexe.

Je m'explique :

Si on note Log la détermination "principale" du log sur et si sont deux réels tels que alors la fonction est méromorphe sur qui contient le disque fermé .
Son unique pôle est en 0 et, donc, si désigne le cercle trigo., .
Sauf que, par définition,
.
d'où, en identifiant les parties imaginaires,


Y'a plus qu'à appliquer à ton intégrale
où

Je n'ai qu'un mot : super !!!
Encore merci