Ma démonstration vous parait-elle juste? application linéaire

[hec]

bonjour, je dois montrer que f est une application linéaire :

f (x,y) = (2x+3y,x+y)
je pensais montrer que f(X+Y) C f(X)+f(Y) puis l'inverse alors j'ai commencé comme ça, est-ce que ça vous parait juste ?

x € f(X+Y)
=> x € f(X inter Y)
=> x € ( f(X) inter f(Y) )
=> x € f(X) et x € f(Y)
=> x € f(x)+f(Y)

donc f(X+Y) C f(X)+f(Y)

ensuite je suis reparti dans l'autre sens pour l'autre inclusion.

[hec]

excusez-moi jai tapé sur la mauvaise touche, le message est parti alors que je n'avais pas fini de marquer mon titre, je voulais mettre :' est-ce que que ma démonstration vous parait juste (application linéaire) ?' encore dsl... :doh:

[simplet]

ca ne me parait pas tres catholique tout ca...
déja tu definis f(x,y) puis tu calcules f(x+y) ....???

Et pour montrer que f est bilinéaire (linéaire par rapport à chacune des variables) tu montre (et facilement en plus) que
f(x+x',y) =f(x,y)+f(x',y) et de même pour la linéarité en y..

[hec]

c'est parce que dans mon énoncé on me donne
pour tout (X,Y)€(R²)², pour tout lambda € R, f(X+lambda Y) = f(X) + lambda (Y) alors je pensais que je pouvais l'utiliser...

dans ce cas je peux ou pas ?

[abcd22]

Bonjour,
Tu peux utiliser la définition, mais il ne faut pas confondre les éléments de R et ceux de R². Ici X = (x,y) et Y = (x',y'), avec x, x', y et y' réels.
Ensuite on montre f(X + Y) = f(X) + f(Y), c'est une égalité entre des éléments de R², pour le montrer il faut calculer f(X + Y) et trouver que c'est égal à f(X) + f(Y), ça n'a pas de sens d'écrire « », c'est comme si tu disais !

[hec]

ok jai compris mon erreur! dans cas je peux poser (a,b) € R² à la place de x et débuter par
(a,b) € f(X+Y)
... ??

(juste autre chose, est-ce que j'ai le droit de poser X = (2x,x) et Y=(3y,y) ? :mur: )

merci pour votre aide :++:

[abcd22]

Je ne vois pas ce que tu veux dire par , ça n'a pas de sens ! Qu'est-ce que ça veut dire pour toi par exemple ?
Il suffit de poser X = (x,y), Y = (x',y'), donc X+Y = (x+x',y+y'), on calcule f(X) + f(Y) et f(X+Y) (ce sont des éléments de R², pas des ensembles) avec la définition de f et on constate que c'est égal. Il faut aussi montrer que pour tout réel ( si ).

[hec]

Plus on m'explique, moins je comprends... :triste:

je pensais que pour montrer l'égalité f(X+Y) = f(X)+f(Y) avec X(2x+3y,x+y) et Y(2x'+3y',x'+y') et k=1, il suffisait que je démontre une double inclusion.

Dans ce cas pourquoi ne puis-je pas prendre un couple (a,b) appartenant à R² et montrer qu'il appartient à la fois à f(X+kY) et à f(X)+kf(Y) ?

[Zebulon]

Bonjour,
il faut bien comprendre que quand on dit que "démontrer une égalité, c'est démontrer une double inclusion", ça n'a un sens que lorsqu'il s'agit d'ensembles!!!
Comme dit abcd22, parler d'inclusion entre autres choses que des ensembles (ici des couples), ça n'a pas de sens!

Qu'est-ce que ça veut dire pour toi par exemple ?

[hec]

ok je ne savais pas! merci de me l'avoir dit, je ne suis pas très doué en maths mais je fais du mieux que je peux :briques: , merci encore.

[abcd22]

J'ai l'impression que tu confonds X et f(X) (et Y et f(Y)), ici
X = (x,y),
f(X) = (2x+3y,x+y),
Y = (x',y'),
f(Y) = (2x'+3y',x'+y'),
on demande de calculer f(X) + f(Y) et f(X+Y) et de vérifier que c'est égal.

[hec]

J'ai l'impression que tu confonds X et f(X) (et Y et f(Y))

zut oui j'ai tout confondu, une fois que l'on m'a expliqué ça va mieux merci à vous 2.