Problème avec une question qui parait simplissime

[Coast]

Bonjour

Je suis nouveau sur ce site que je ne connaissais pas et que je trouve très bien, j'espère pouvoir apporter ma contribution.

J'ai un problème avec un exo, si vous pouvez m'aider ce serait vraiment sympa. Merci d'avance


soit pour tout . Montrer que l'un au moins des produits , est inférieur ou égal à .

J'ai essayé de mettre en route une récurrence, mais je n'y arrive pas. Pour déceler la difficulté il faut vraiment essayer de le faire. Il ya certainement une disjonction des cas et quand on utilise la récurrence, mais je n'y arrive pas.

Toute aide serait vraiment la bienvenue. Merci d'avance.

[Pythales]

Peut-être en écrivant que avec
et et
puis étudier les valeurs relatives de et

[Coast]

Bonjour Pythales

Merci pour la piste, je vais l'essayer et je te tiendrais au courant.

[Pythales]

Il y a peut-être plus simple : sur les , il y en a et
Si on considère et si on considère
(plus les cas extrèmes d'égalité...)

[Ericovitchi]

Hérédité :

et

Par hypothèse de récurrence on sait que soit soit
Disjonction des cas :
si alors on a clairement l'inégalité recherché

si alors on a forcément or d'où

Donc la question est faite pour ce cas, te reste à faire la même chose pour selon le même principe

[Doraki]

Sinon, tu peux étudier la fonction x -> x(1-x) sur [0;1],
et essayer de montrer que

[Coast]

Hérédité :

et

Par hypothèse de récurrence on sait que soit soit
Disjonction des cas :
si alors on a clairement l'inégalité recherché

si alors on a forcément or d'où

Donc la question est faite pour ce cas, te reste à faire la même chose pour selon le même principe

Merci pour l'effort mais la démonstration ne tient pas la route. En fait quand , on a et pas l'inverse !!

[Coast]

Sinon, tu peux étudier la fonction x -> x(1-x) sur [0;1],
et essayer de montrer que

Merci

C'est fait, ça ne donne rien.

[Coast]

Peut-être en écrivant que avec
et et
puis étudier les valeurs relatives de et

ça ne marche pas non plus, ça beugue toujours. En fait pour être plus clair, le problème est dans les deux cas suivants:

1) et
1) et

[Doraki]

Merci

C'est fait, ça ne donne rien.

Si tu as prouvé que le produit des 2 gros produits était plus petit que 4^-n,
c'est pas difficile de montrer qu'ils ne peuvent pas être tous les deux plus grands que 2^-n ...

[Coast]

Si tu as prouvé que le produit des 2 gros produits était plus petit que 4^-n,
c'est pas difficile de montrer qu'ils ne peuvent pas être tous les deux plus grands que 2^-n ...

Tua s PARFAITEMENT RAISON. C'est la bonne observation. j'ai eu un moment d'égarement.

C'est donc résolu, merci infiniment. :king2: