Trouver la matrice d'un endormorphisme

[emi28300]

On a P=a+bX+xX²
et u(P)=(2a+c)+(a+b+c)-(2a+c)X²
On me demande de trouve la matrice A de l'endomorphisme u de R² dans R².
Ca fait longtemps que je n'ai plus fait de maths de ce niveau, pourriez vous m'aider ? Je suis censée diagonaliser la matrice ensuite mais je n'arrive déjà pas à la trouver...

[Ben314]

Salut,

C'est un énoncé "à trou" que tu nous propose ?

En essayant de "boucher les trous", je suppose que ton endomorphisme, il va de l'e.v. des polynômes de degrés <=2 dans lui même et que, à tout polynôme il associe le polynôme .

Ensuite, ça :

On me demande de trouve la matrice A de l'endomorphisme u de R² dans R².

a) ç'est incohérent vu que ton endomorphisme ne va pas du tout de R^2 dans R^2 (pour toi un polynôme de degrés <=2, c'est la même chose qu'un point du plan ?)
b) Pour pouvoir écrire la matrice d'un endomorphisme, il faut se donner une base de l'espace sur lequel on travaille et la matrice en question dépend de la base : c'est pour ça qu'on parle par exemple de "diagonaliser un endomorphisme" : ça veut dire chercher une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme va être diagonale.

A froid, vu que ça semble être la première question de l'exo, j'aurais tendance à penser (à vérifier) que la base dans laquelle on doit écrire la matrice de u, c'est la base dite "canonique" de l'e.v. des polynômes de degré <=2, c'est à dire la base .

Est ce que tu te rappelle quelle est la définition de "la matrice de l'endomorphisme ? dans la base (?,?,?)" ?

[emi28300]

L'énoncé complet est :
Soit E=R2[X], on considère l'application u qui associe à P=a+bX+cX² le polynome
u(P)=(2a+c)+(a+b+c)X-(2a+c)X²
1/ Vérifier que u est bien un endomorphisme de u --> ok!
2/ donner la matrice A de u dans la base canonique de E
J'avais trouvé : (a a -2a / c b -2c / a c c ) (par ligne) mais ca ne donnait rien pour mes autres questions (trouver le ker, im et valeurs propres)

[Ben314]

Non : la matrice ne contient ni a, ni b, ni c :
Ces lettres étaient là uniquement pour désigner un polynôme quelconque de E et ton endomorphisme ne dépend pas du tout de a ou b ou c (=> les coeffs. dans la matrice c'est de "bètes chiffres).

Pour remplir ta matrice, tu doit mettre, en colonne, les coordonnées des images de la base exprimées dans la même base.
Je te donne un exemple : pour la troisième colonne, on prend le troisième élément de la base, c'est à dire X².
On calcule u(X²) : comme X²=0+0.X+1.X² (i.e. a=0 ; b=0; c=1), c'est que u(X)=(2.0+1)+(0+0+1)X-(2.0+1)X²=1+X-X² dont les coordonnées dans la base (1,X,X²) sont (1,1,-1)
Tu met donc dans la 3em colonne (de haut en bas) 1 , 1 , -1.

A toi de faire les autres...