Bonjour,
Analytiquement on trouve très facilement l'espérance de la norme au carré du vecteur somme comme déjà écrit :
En reprenant les mêmes notations on a :
Alors le vecteur somme a pour composantes :
et la norme au carré du vecteur est donc
Qui est in fine la variable aléatoire que l'on souhaite étudier.
On peut la réécrire en isolant les termes i=j ce qui donne :
car cos²+sin²=1
Partant de là, l'espérance tombe direct puisque les variables
sont indépendantes et d'espérance nulle (l'intégrale du cosinus sur 0,2Pi est 0), idem pour les
, du coup on a tout simplement :
car les Vi sont de même loi.
La variance de V² est elle aussi calculable avec un peu plus d'effort car on tombera sur des [TEX] \mathbb{E}\left[cos^2(\alpha_i)\right] qui valent 1/2.
Quant à obtenir l'intervalle de confiance 90% analytiquement, cela me paraît plus délicat, et si les gaussiennes initiales sont assez resserrées, une approximation bateau avec les deux premiers moments que l'on vient d'obtenir pourra peut être suffire.
Damien