Statistique de la dette

[m18]

Je pense que le pb vient des termes pour lesquels .

C'est le fameux coefficient qui pose problème à ce moment amha. Une combinaison avec un paramètre négatif, c'est pas terrible...

[m18]

C'EST BON J'AI REUSSI !!! :king:

Comme je le pensais c'était pour les petites valeurs de S et D qu'il y avait pb.

Du coup il a fallu définir des cas particuliers pour ces valeurs :

Code: Tout sélectionner

z(S, D) :=
if S<0 then 0
 elseif D<=0 then 1
 else sum(binomial(S, k)*2^k*binomial(D-1,k-1),k,0,S);


(sous maxima, donc)

Bon ce serait quand même mieux de trouver une expression plus analytique, mais puisque ça marche, hein ...

Ce qui est cool c'est que la formule tellement espérée fonctionne :

Code: Tout sélectionner

verif(S, D, s) := sum(z(S-s,D-d)*z(s,d),d,0,D);

j'ai essayé cette fonction avec plusieurs valeurs :

Code: Tout sélectionner

(%i14) verif(3,3, 2);
(%o14)                                38
(%i15) verif(3,3, 1);
(%o15)                                38
(%i16) verif(30,3, 1);
(%o16)                               36020
(%i17) z(30,3);
(%o17)                               36020
(%i18) verif(30,3, 10);
(%o18)                               36020


bref autant dire que ça marche comme sur des roulettes...

J'ai pas encore essayé la fameuse formule avec les noeuds comme indices... je laisse plâner le suspense...:lol3:

Je pourrai continuer demain serainement, mais ce soir c'est :dodo:

[m18]

bon je reviens à la charge parce que j'arrive pas à dormir et que les idées jaillissent dans ma petite tête alors il faut que ça sorte !

Je vais essayer de vous montrer en quoi la formule qu'on a obtenue et que je qualifie de "magique" va nous permettre de calculer quasiment sans se fouler.

Observons attentivement la formule magique :


On va appliquer cette formule avec un bien choisi : celui qui correspond à tous les noeuds qui se projettent en X ! Bon je sais c'est un peu audacieux de considérer que l'espace des noeuds et un espace projectif de l'espace des individus, mais bon que voulez vous j'essaie de donner de la hauteur au débat :lol3:

Quoi qu'il en soit pour faire plus simple dans l'espace des noeuds on va prendre tous ceux qui "incluent" X. Combien y en a-t-il ? Facile : y'en a , même vous vous êtes capable de le comprendre :lol4:

Donc on va appliquer la formule avec , ce qui donne :



Mélanger les S et les N dans un même appel de fonction c'est pas très propre, donc là où on peut simplifier, il faut simplifier. En l'occurence le terme peut s'écrire , et on préfèrera cette expression, qui a une interpréation évidente (vous la voyez, j'espère... non ? c'est pas grâve :zen:)

Il nous reste le terme qui lui est absolument fascinant.

Y'a deux façons de le voir :

- Soit vous vous contentez de dire que c'est comme d'habitude le nombre de façons de placer des entiers naturels sur cases de telle sorte que la somme etc.
- Soit vous faites un effort d'abstraction et vous dites que c'est la fonction de partition dans l'espace des noeuds du sous-système limité au cône projectif de sommet X. :hum:

Faites pas cette tête, et regardons ensemble à nouveau ce terme tellement important :



En somme ce terme nous permet de compter tous les chemins qui passent par X (tout ça pour ça, je sais...).

Le truc maintenant c'est qu'on est en droit de se dire que chacun de ces chemins "consomme" N-1 noeuds par rapport au reste de l'espace. Pour chacun de ces noeuds, il existe deux possibilités de signe, ce qui me permet d'affirmer QUE CE NOMBRE EST DIVISIBLE PAR !!!

J'ai tort ? Peut-être que demain je me rendrai compte que j'ai dit n'importe quoi, mais en tout cas pour l'instant je continue...

Donc on peut écrire notre fonction de partition spéciale ainsi :



Une lapalissade me direz-vous ? Attendez...

Chacun de ces sous-termes représente une configuration dont une seule nous intéresse : celle pour laquelle tous les noeuds sont dans le même sens (car on cherche tous les chemins pour lesquels X n'est que créancier).

Ecrivons donc :


Encore une lapalissade ? Attendez encore...

Réintégrons maintenant l'expression obtenue dans la fonction de partition totale, cette fois.



Ca y'est vous avez compris ? Non, toujours pas ?
Faut vraiment que je vous explique tout !

On dispose maintenant d'une expression de la fonction de partition dans laquelle tous les termes possèdent une interprétation claire, qui correspond en outre à ce qu'on veut calculer.

IL NOUS SUFFIT DONC D'ENLEVER LES TERMES NON DESIRES POUR OBTENIR LA FONCTION RECHERCHEE !!!!

En l'occurence les termes qu'on doit enlever ce sont tous les

On obtiens un terme


Dont je vous fiche mon billet qu'il est égal à !

Et on a pas besoin de plus.

Bon je suis allé un peu vite, emporté par mon enthousiasme, et faut le temps que je me relise pour vérifier si tout ça a bien un sens et qu'il n'y a pas trop d'erreurs.

[m18]

Salut,

bon pour ceux qui ont eu le courage de me suivre jusqu'ici, je suis nâvré d'annoncer qu'il y a une faille dans le raisonnement précédent.

Mais restons cool : à defaut d'être exacte , l'approche est intéressante, et elle mérite qu'on persévère un peu.

Le problème est à l'étape de l'analyse de

J'avais avancé un peu vite en disant que ce nombre était divisible par , arguant l'idée que chacune de ses configurations avait noeuds.

Il n'en est rien en fait : le nombre de noeuds peut varier de 0 à ! Pour chaque valeur de il existe donc un indice de dégénerescence qu'il faut faire apparaître !

Ecrivons donc, quitte à introduire de nouvelles fonctions :


Ca vous rappelle rien ? Ben oui c'est un peu la situation inverse de celle que l'on avait rencontré lorsqu'on voulait lever la dégénérescence de .

M'est donc avis qu'il existe un lien étroit entre et d'une part, et que d'autre part on a soit , soit

Faut y réfléchir...

[m18]

"J'AI TROUVE !", comme disait l'autre :lol3:

En fait depuis le début on aurait dû partir de la fonction de partition, sans même introduire , ça nous aurait évité de nous emmêler les pinceaux avec les notations.

La fonction de partition peut se décomposer en termes non dégénérés, en introduisant la fonction que cette fois on écrit avec la fonte caligraphique de , alors qu'on avait fait l'inverse pour , ce qui était maladroit.

Donc voici :



est une nouvelle fonction, mais le problème c'est qu'à priori on ne connait pas son expression analytique.

Et bien je dis qu'en fait on la connait très bien cette fonction, car elle apparait dans l'expression littérale de !!!

Rappelons cette expression, pour la forme :



Et bien, avec un brin d'audace, je peux écrire :



Et voilà !

[m18]

Comme je l'ai déjà dit le terme pose problème pour les valeurs "extrèmes" de D et k.

C'est fâcheux, et ça fait un moment que je me demande si on peut pas arranger ça avec l'une des nombreuses propriétés du coefficient binomial.

Vous savez, un de ces trucs du genre .

Or, quelle est la relation la plus puissante dans ce domaine ??

Réponse : le triangle de Pascal, bien sûr !



Ce qui me permet d'écrire :



Bon on peut pas complètement enlever le terme en , mais au moins on a plus celui en .

J'espère que ça résoudra mon problème...

[m18]

Non mais quel niguaud ! :marteau:

Quand j'écrivais :

Vous savez, un de ces trucs du genre

Ben en fait il n'était pas utile d'aller chercher plus loin !

si on applique cette formule à , ça donne , ce qui est au moins aussi bien que la formule obtenue avec le triangle de Pascal.

Ceci dit tout bien réfléchi ça devrait pas suffir, car le pb est propre à la méthode de calcul, c'est pas juste une question technique. Quoi qu'il en soit c'est déjà bien de ne pas avoir ce facteur !

[m18]

Bon il est temps de donner une expression de la fonction de partition qui fonctionne, elle, pour n'importe quelles valeurs de S, D, et même k si on veut écrire aussi la version non dégénérée.



Bon je fais l'impasse pour l'instant sur , car je ne suis pas sûr qu'il soit utile de considérer les cas où .

On verra bien ce que ça donne...

PS. Pour le cas , j'ai utilisé le symbole de notre ami Kroenecker, je me suis dis que ce serait plus simple que de faire un sous-cas...

[m18]

Et les gars rien qu'avec ce qu'on vient de faire, je vous promets qu'on va déjà pouvoir calculer une probabilité pertinente !

Bon ce sera pas encore l'espérance de réduction de la dette, mais ce sera la probabilité qu'en donnant un euro à X, la dette totale du système soit diminuée !

Autrement dit, ce sera la probabilité que X utilise cet euro pour diminuer une de ses dettes (sans supposer qu'il en ait une ou non : ça, ça fait partie du calcul de la probabilité).

A suivre !

[Clembou]

Salut,

On ne peut pas vraiment parcourir tout ton sujet si tu postes 20 messages à la suite tous aussi longs que difficile à lire. Ce n'est pas très encourageant. Sur ceci, j'ai plusieurs choses à te proposer.

Soit tu continues de poster des messages pour alimenter le sujet et que personne ne pourra répondre car il faudrait que la personne s'intéressent vraiment (moi ça m'intéresse mais je t'avouerais que déjà au cinquième message posté je n'avais même plus le courage de te lire).

Soit tu nous écris un petit document (en LaTeX de préférence) qui résume le sujet et qui donne des pistes de résolutions. Ainsi, tu pourras le faire partager sur le forum (sur calaméo tu peux poster des pdfs et nous on pourra les lire (voir les télécharger si tu mets l'option)).

Voilà, j'espère ne pas t'avoir décourager dans tes recherches. Moi ça m'intéresse fortement mais pour l'instant, je travaille sur la nouvelle version de mon site. Peut-être pour une prochaine fois :+++

[m18]

Bon avant de me lancer dans l'application numérique, je vais vous expliquer comment on va procéder pour calculer la probabilité de réduire la dette totale en prêtant un euro à quelqu'un.

On a besoin de deux outils.

Primo, l'expression de la fonction de partition :



Secundo, la "formule magique" :




On va appliquer la formule magique avec le cône projectif de sommet X :zen: , et on va développer la fonction de partition du cône :



Vous voyez où je veux en venir ? Non ? c'est pas grâve, on continue...

Cette fois-çi je peux affirmer sans risque d'être ridicule que le terme est divisible par .

Si vous me croyez pas regardez l'expression littérale, le facteur est juste devant vos yeux ! :ptdr:

Donc on peut écrire :


Là encore parmi ces , il n'y en a qu'un seul qui m'intéresse : celui où tous les noeuds sont dans un seul sens bien précis : celui d'une dette envers X !

Donc j'écris :


Et je réinjecte tout ça :


Ca y'est ? Vous voyez la lumière ??

On n'a plus qu'à enlever tous les termes qui ne nous intéressent pas, et on aura tous les schémas possibles qui permettent de réduire la dette !

Donc je peux poser que cette probabilité est égàle à :



Puissant, non ?

[m18]

Regardons attentivement le terme

Quand on est dans le cas où X ne doit rien à personne, et personne ne lui doit rien non plus. Tous ces cas ne permettent pas de réduire la dette et ne doivent donc pas contribuer au calcul.

Ca tombe bien, pour , on a qui est nul et donc annule le tout.

Quand on est dans le cas où X est en affaires avec exactement une personne. Pour chaque schéma il y a deux cas possibles, selon que X est créditeur ou débiteur. Pour chacun de ces schéma seul le cas où X est débiteur nous intéresse.

Et là encore ça tombe bien, car pour , on a . Or c'est parfait puisque comme attendu on ne prend que la moitié des cas.

Tout colle donc, et la formule m'inspire confiance.

[m18]

On va changer d'unité monétaire et on va considérer qu'au lieu de considérer que le montant minimal de dette qui peut être échangé est de un euro, on va dire que ce montant vaut euros.

Ca nous permettra notamment d'utiliser nos résultats pour réfléchir à la pertinence du micro-crédit.

Tous nos résultats restent valables mais dans un système où l'unité monéraire vaut euros.

est maintenant une somme d'argent qui vaut euros.

Faisons le changement de variables (notez la différence de fonte). On n'hésitera pas dans les formules obtenues précédemment à remplacer par .

Enfin notons :



Avec ça on devrait pouvoir facilement passer de la probabilité pour une dette totale exprimée en euros à la probabilité pour une dette totale exprimée en unité de dette élémentaire, et inversement.

PS. j'ai pas envie de me retrouver avec des nombres réels ou rationnels dans mes calculs de combinaison, donc au lieu de prendre tel quel, on prendra la partie entière, ok ?

[m18]

Bon vous vous souvenez que je vous avais promis qu'on pourrait calculer la probabilité pour que la dette soit réduite, hein ? Vous vous souvenez aussi comment j'avais brillamment tenu cette promesse, n'est-ce pas ?

Bon et bien voilà-t-y pas que je viens de me rendre compte qu'on peut aussi calculer la probabilité pour que la dette soit réduite de un euro exactement, et de plus de un euro !!!

Donc c'est pas une, mais deux probabilités que je vous promets cette fois !

Elle est pas belle, la vie ?

"Pourquoi est-ce que je dis ça ? " me demanderez-vous...

Et bien c'est simple : pour que la dette soit réduite de un euro, il faut que X soit sur un chemin de longueur un, et pas plus. Or un tel chemin est facile à localiser dans notre espace projectif (je l'appelle comme ça maintenant, et plus "espace de noeuds", qui sonne un peu trop comme "espèce de noeud !" :ptdr: ).

Or les chemins de longueur 1 exactement ne bifurquent pas !

Ahah ! Ce sera donc facile d'en conclure qu'ils permettent de réduire la dette de un euro.

Pour l'autre proba, on va utiliser une astuce.

Si j'appelle la probabilité pour que la dette ne soit pas réduite, et la probabilité pour que la dette soit réduite de un euro exactement, alors la probabilité pour que la dette soit réduite de plus de un euro vaut :



Pas con, non ?

[m18]

Dans la lignée de ce que j'écrivais sur le changement d'unité monétaire, on peut reformuler l'énoncé ainsi.

On considère N personnes qui se doivent mutuellement une dette totale D qu'on exprimera dans un système d'unité monétaire arbitraire dont l'unité de base sera appelée le micro-crédit.

On suppose que le montant non nul minimal de dette entre deux personnes est de un micro-crédit.

On suppose aussi que tous les schémas de dettes possibles sont équiprobables.
(On identifera un schéma de dettes à une fonction de [1..N]x[1..N] dans [0..D])

Pb. Calculez les probabilités pour qu'en donnant un micro-crédit à une personne, la dette totale soit diminuée de i micro-crédits.


PS. On a déjà trouvé :zen:

[m18]

Bon voici le code des fonctions (y compris !), que je vous donne vite avant qu'elles ne disparaissent au fond de ma mémoire ou de mon disque dur :

Code: Tout sélectionner

z(S,D,k) :=
if k>S or k>D then 0
elseif D>0 then binomial(S,k)*2^k*binomial(D-1,D-k)
elseif k=0 then 1
else 0;

Z(S,D) := sum(z(S,D,k),k,0,S);

magic(S,D, DeltaS) :=
sum(Z(S-DeltaS,D-d),Z(DeltaS,d),d,0,D);

P0(N,D) :=
sum(sum(
z(N-1,d,k)*Z((N-1)*(N-2)/2,D-d)/2^k,k,0,min(d,N-1)),d,0,D)
/Z(N*(N-1)/2,D);


Et voici ce que donne le résultat de pour variant de 0 à 20 :

Code: Tout sélectionner

(%i33) for x: 0 thru 20 do print(float(P0(10,x)));
1.0
0.9
0.81111111111111
0.73204147124167
0.66165104423615
0.5989341000058
0.54300361908374
0.49307742846407
0.44846589214073
0.40856099527528
0.37282667541801
0.34079026770954
0.31203494353048
0.28619303367731
0.26294013785928
0.24198993217139
0.22308959524282
0.2060157820303
0.1905710817653
0.17658090341562
0.16389073823141


On constatera que les valeurs pour et sont bien celles auquelles on pouvait s'attendre :zen:

Bon faudrait que je mette des graphiques maintenant mais pour ça d'après la FAQ je dois d'abord avoir l'autorisation des modérateurs. Hum, messieurs, si vous lisez ces lignes ...

[m18]

Bon c'est bien beau mais les quelques applications numériques que j'ai faites pour le moment me laissent entrevoir que si je veux simuler la dette de la France (), il me faudra quelques siècles.

Il va donc falloir à un moment ou un autre que j'utilise la formule de Stirling ou que je trouve un moyen de simplifier les expressions (ça j'y crois pas trop).

La formule de Stirling devrait me donner un résultat correct amha.

PS. bon je viens de consulter notre amie Wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale#Convergence

Et bon clairement si dans le développement de je pouvais me ramener à une loi de Poisson pour les petites valeurs de k et une loi normale pour les valeurs intermédiaires, ce serait bien...

[m18]

Alors là les petits gars j'vous dis : j'ai la solution au problème qui taraude tant les économistes et les banquiers centraux en ce moment.

Est-ce qu'en ajoutant continuellement de la dette avec des taux quasi-nuls, on va aboutir à une situation de déflation ou d'inflation ?

Rigolez-pas c'est une question sérieuse : y'a même un ancien trader de Wall Street qui en a fait une chanson : http://www.youtube.com/watch?v=2fq2ga4HkGY

Et bien, au risque de paraître prétentieux, moi je vous dis que :

1. les hypothèses retenues dans ce problème sont parfaitement adaptées pour trancher cette question.

2. rien qu'avec les outils qu'on a développés jusqu'à présent on peut obtenir la réponse.

Voilà l'idée :

je vous ai dit qu'on peut maintenant calculer P1, en plus du terme P0 qu'on vient d'obtenir.

Or, il ne manquera pas à votre légendaire sagacité d'avoir deviné la relation suivante entre les :



et donc :



On pourra donc calculer la probabilité pour que la réduction de la dette soit AU MOINS EGALE A DEUX.

Si cette probabilité est supérieure à 1/2, alors statistiquement on aura réussi à réduire la dette d'un montant supérieur à l'euro que l'on a injecté.

Et ça, ce sera une condition suffisante pour la... déflation, ... enfin je crois ! :doute:

[m18]

Chose promise, chose dûe ! Calculons .

Reprenons notre expression de la fonction de partition dans laquelle nous avions "découpé" le cône projectif de sommet X:



Souvenons-nous que nous avions décomposé chacun des terme en deux parties :



Seule la partie multipliée par permet d'annuler des dettes (au moins une). Et on peut donc écrire :



Mais il y a un truc qu'il faut comprendre : cette partie du produit n'est "responsable" que de l'annulation d'une dette. Si plus d'un euro de dette est annulé, cela proviendra nécessairement de l'autre facteur : celui de la "grande" part de l'espace projectif.

C'est donc ce facteur qu'il faut maintenant décomposer.
Pour ça il faut d'abord le "retilder", si vous me passez l'expression.



On va donc appliquer la formule magique sur cette fonction, mais en projetant sur quel domaine, me direz-vous ?

Et bien, sur celui qui intercepte le précédent, pardi ! :ptdr:

Bon je suis fatigué alors j'ai pas envie de rentrer dans les détails, surtout que là, vraiment, il faudrait un schéma. Mais en gros ça veut dire qu'il faut appliquer la formule magique avec .

Pourquoi ? Parce que.
(je sais pas moi, faites un effort de visualisation dans l'espace projectif, et vous verrez !)

ça nous fait :



Bon maintenant on doit encore séparer en deux termes, dont on ne prendra pas celui en

Vous avez compris ? Oui ? Ben j'sais pas comment vous faites, parce que moi je commence à me perdre...

Quoi qu'il en soit on regroupe le tout et ça nous fait une formule un peu monstrueuse :



C'est atroce et fait à l'arrache, mais en gros c'est l'idée.
Faudra que je me lise et me relise pour vérifier tout ça...

[m18]

Dites-donc elle est pas si moche que ça cette formule.

Enlevons lui un peu tous les facteurs restrictifs afin de refaire apparaître la fonction de partition dans son ensemble :



Pas mal, hein ? C'est beau, symétrique, y'a que le qui choque...

Renommons le , pour voir :


Bof, j'aurais juré voir une division sur deux domaines.

Voyons un peu ce que donnerait une telle division :


Mais vouis, c'est bien ça ! Il suffit juste de choisir ...

Z'avez compris vous ? Moi à moitié seulement.

Vous m'expliquerez, ok ?