Nombre pair

[youkef-sne]

Salut, je dois démontrer par récurrence que 3^n - 1 est un nolbre pair.
Voila ce que j'ai fait pour l'instant:

Initialisation: Pour n=1, on a : 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2, la propriété est initialisé

Hérédité: Supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, on a alors : 3^p - 1 qui est un nombre pair. Démontrons que cette propriété est héréditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1:

Mais après je ne sais pas comment faire, pouvez vous m'aidez

[kelthuzad]

Salut,

J'aurais plutôt initialisé à 0.
Ensuite tu dis que soit p appartenant à N
Supposons que 3^p - 1 est pair soit vrai.
3^(p+1) = 3*3^p or d'après la supposition 3^p - 1 est pair donc 3^p est impair et 3 fois un nombre impair est impair car impair*impair = impair
Donc 3^(p+1) est impair => 3^(p+1) - 1 est pair
On a montré que si 3^p - 1 est pair alors 3^(p+1) - 1 est pair.
Grâce à l'initialisation la propriété est vraie.

[youkef-sne]

Désolé mais j'ai pas compris ta démarche

[titine]

Salut, je dois démontrer par récurrence que 3^n - 1 est un nolbre pair.
Voila ce que j'ai fait pour l'instant:

Initialisation: Pour n=1, on a : 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2, la propriété est initialisé

Hérédité: Supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, on a alors : 3^p - 1 qui est un nombre pair.

Qu'est ce que ça signifie que 3^p - 1 est un nombre pair ?

[youkef-sne]

Qu'est ce que ça signifie que 3^p - 1 est un nombre pair ?

Les nombres pairs sont des nombres se terminant par 0,2,4,6, ou 8.

[kelthuzad]

Désolé mais j'ai pas compris ta démarche

Même en relisant ? Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

[kelthuzad]

1) Supposons que 3^p - 1 est pair soit vrai.
2) Regardons ce qu'il se passe pour (p+1)
3) 3^(p+1) = 3*3^p
4) d'après la supposition 3^p - 1 est pair donc 3^p est impair
5) impair*impair = impair
6) 3*3^p est donc impair car 3 est impair et on a vu que 3^p aussi
7) 3*3^p = 3^(p+1) est impair
8) => 3^(p+1) - 1 est pair

Tout ça c'est vrai en supposant que 3^p - 1 est pair soit vrai.
On a montré que si (3^p - 1 est pair) est vrai alors (3^(p+1) - 1 est pair) est vrai.

Comme on initialise à 0 on sait que pour p=0 c'est vrai.
=> donc pour p=0+1 c'est vrai
=> donc pour p=1+1 c'est vrai
=> donc pour p=2+1 c'est vrai
=> ...
=> donc la proposition initiale est vraie pour p appartenant à N

[youkef-sne]

Ah ouai c'est bon j'viens d'comprendre :-)

[titine]

Moi, je dirai, mais ça revient au même :
Un nombre pair est un multiple de 2 , donc un nombre qui s'écrit 2*q avec q entier.
Si on suppose que 3^p - 1 est pair, ça veut dire que 3^p - 1 peut s'écrire sous la forme 2*q
Or si 3^p - 1 = 2*q alors 3^p = 2*q + 1
Et comme 3^(p+1) est égal à 3*3^p , alors 3^(p+1) = 3*(2*q + 1) = 6q + 3
Et donc 3^(p+1) - 1 = 6q + 3 - 1 = 6q + 2 = 2*(3q + 1)
Ce qui prouve que 3^(p+1) - 1 est un multiple de 2 c'est à dire un nombre pair.

[kelthuzad]

Le raisonnement est juste mais la démonstration par récurrence est imposée.

[titine]

Le raisonnement est juste mais la démonstration par récurrence est imposée.

J'ai juste rédigé l'hérédité de manière légèrement différente de vous.

[paquito]

3^0=1[2]
3^1=1[2]
3^2=1[2]
.......
3^n=1[2], en termes de congruences, donc la récurrence est inutile!

De toutes façons, le binôme de newton montre que (2k+1)^n est impair!

[domingo]

Bonjour,

Une autre manière de rédiger.
Je pose u ( n ) = 3 ^ n - 1 pour tout entier naturel n .
Il est assez facile de montrer que u ( n + 1 ) = 3 u ( n ) + 2 .

1) u ( 0 ) = 0 est pair
2) u ( n ) est pair entraîne 3 u ( n ) est .... entraîne 3 u ( n ) + 2 est .... entraîne u (n + 1 ) est ....

Une remarque pour un raisonnement " direct " avec n entier supérieur ou égal à 1.
1 + 3 +3 ² + ... + 3 ^ ( n - 1 ) = ( 3 ^ n - 1 ) / 2
3 ^ n - 1 = 2 ( 1 + 3 +3 ² + ... + 3 ^ ( n - 1 ) )
1 + 3 +3 ² + ... + 3 ^ ( n - 1 ) est un entier donc 3 ^ n - 1 est ....

Un bonjour amical à mon " mentor " paquito .

[kelthuzad]

3^0=1[2]
3^1=1[2]
3^2=1[2]
.......
3^n=1[2], en termes de congruences, donc la récurrence est inutile!

De toutes façons, le binôme de newton montre que (2k+1)^n est impair!

L'énoncé demande une récurrence, il faut donner une solution comme une de celles qui précède.

[paquito]

Bon, s'il faut absolument une récurrence:

pour n =0, 3^0-1=0 est pair
Hypothèse de récurrence: pour un entier n>=0, 3^n-1=2k, avec k appartenant àN;
On peut alors écrire 3^n+1-1=3(3^n)-1=(2+1)3^n-1=2x3^n+3^n-1=2x3^n+2k=2(3^n+k)=
2k'; la propriété est héréditaire et le principe de récurrence s'applique .

[paquito]

Bonjour,

Une autre manière de rédiger.
Je pose u ( n ) = 3 ^ n - 1 pour tout entier naturel n .
Il est assez facile de montrer que u ( n + 1 ) = 3 u ( n ) + 2 .

1) u ( 0 ) = 0 est pair
2) u ( n ) est pair entraîne 3 u ( n ) est .... entraîne 3 u ( n ) + 2 est .... entraîne u (n + 1 ) est ....

Une remarque pour un raisonnement " direct " avec n entier supérieur ou égal à 1.
1 + 3 +3 ² + ... + 3 ^ ( n - 1 ) = ( 3 ^ n - 1 ) / 2
3 ^ n - 1 = 2 ( 1 + 3 +3 ² + ... + 3 ^ ( n - 1 ) )
1 + 3 +3 ² + ... + 3 ^ ( n - 1 ) est un entier donc 3 ^ n - 1 est ....

Un bonjour amical à mon " mentor " paquito .

Salut Domingo! :lol3:

[paquito]

Un peu dans le même genre, j'ai eu comme exercice au bac: démontrer que pour tout entier n:
2^(n+2)+3^(2n+1) est un multiple de 7. Aucune indication. Il y en a d'autres du même genre avec même le cas ou la propriété est héréditaire mais ne sera jamais amorcée. C'est plus intéressant.

[beagle]

Un peu dans le même genre, j'ai eu comme exercice au bac: démontrer que pour tout entier n:
2^(n+2)+3^(2n+1) est un multiple de 7. Aucune indication. Il y en a d'autres du même genre avec même le cas ou la propriété est héréditaire mais ne sera jamais amorcée. C'est plus intéressant.

comme tout le monde le sait, les nombres entiers 2n+1 sont des nombres pairs.
récurrence, hérédité facile, ne pas vérifier l'amorce = danger!

[kelthuzad]

comme tout le monde le sait, les nombres entiers 2n+1 sont des nombres pairs.

Ah bon ...? ^^

[paquito]

Bien sûr! si 2n+1 pair, 2n+3=2n+1+2 est pair!