Partie entière et suite arithmétique

[t.itou29]

Bonjour,

J'ai résolu ce problème (encore je suis même sur que ma solution soit correcte!) mais je suis persuadé qu'il y a une solution beaucoup plus simple et courte que je ne parviens pas à trouver :mur:
Voici le problème:

Si est une suite arithmétique alors a est un entier. ([x]=partie entière).

Et ma solution:
Supposons a non entier et écrivons-le a=m+h avec m un entier et
On a alors
Pour que la suite soit arithmétique il doit exister c tel que pour tout n non nul:
et il est clair que c doit être un entier non nul.
En sommant l'égalité pour n allant de 1 à k on obtient:

Or ce qui entraîne .
Or comme c>h pour k suffisamment grand l'inégalité n'est pas vérifiée. Contradiction.

Avez-vous des idées ?

[Monsieur23]

Aloha,

Comme tu le dis, la raison c de la suite est nécessairement entière. On a donc pour tout n
[an] = cn, d'où [an]/n = c.

Or on sait que [an]/n = [a], d'où c=[a]. Finalement, pour tout n, [an] = [a]n. Et ceci n'est vrai que si a est entier (petit exercice sur les parties entières : dans l'idée, sinon la partie fractionnaire de a, multipliée par un n assez grand "ajoute 1" à la partie entière).

Mais ça ressemble pas mal à ce que tu as fait.

[t.itou29]

Aloha,

Comme tu le dis, la raison c de la suite est nécessairement entière. On a donc pour tout n
[an] = cn, d'où [an]/n = c.

Or on sait que [an]/n = [a], d'où c=[a]. Finalement, pour tout n, [an] = [a]n. Et ceci n'est vrai que si a est entier (petit exercice sur les parties entières : dans l'idée, sinon la partie fractionnaire de a, multipliée par un n assez grand "ajoute 1" à la partie entière).

Mais ça ressemble pas mal à ce que tu as fait.

Comme le premier terme de la suite est [a] c'est pas plutôt [an]=nc+[a] ?

[Ben314]

Salut,
Ton hypothèse te dit que où est la raison de la suite (évidement entier vu que c'est la différence entre deux termes successifs entiers de la suite).

Par définition de la partie entière, ça signifie que

et donc que

Si on fait tendre vers l'infini, on en déduit que

[t.itou29]

Salut,
Ton hypothèse te dit que où est la raison de la suite (évidement entier vu que c'est la différence entre deux termes successifs entiers de la suite).

Par définition de la partie entière, ça signifie que

et donc que
Si on fait tendre vers l'infini, on en déduit que

D'accord j'ai compris, c'est plus simple comme ça ! Merci

[Monsieur23]

Comme le premier terme de la suite est [a] c'est pas plutôt [an]=nc+[a] ?

Ouais. J'avais pas vu le n>0