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Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Mathusalem
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par Mathusalem » 05 Mar 2014, 15:23

par 'n' j entendais n importe quel nombre, pas le n x n du quadrillage.

mais ce que je dis n est pas vrai. Si le premier segment que tu traces couvre 5 carres, le deuxieme, selon l orientation du premier, peut en couvrir au maximum 5 ou 6.



beagle
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par beagle » 05 Mar 2014, 15:28

Mathusalem a écrit:par 'n' j entendais n importe quel nombre, pas le n x n du quadrillage.

mais ce que je dis n est pas vrai. Si le premier segment que tu traces couvre 5 carres, le deuxieme, selon l orientation du premier, peut en couvrir au maximum 5 ou 6.


à priori max dégommé est sur la grande diagonale, et coche n+n-1 donc pour le 4x4 max est 7,
et si on veut faire maintenant du n+1, du 5 on peut le faire sur les 2 diagos 3+2, mais en n+1 général cela va plus souvent recouper, ce qui n'est pas grave mais ...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Imod
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par Imod » 05 Mar 2014, 20:16

Pour recadrer un peu le problème :zen:

On a une grille carrée de côté n quadrillée en n² petits carrés .

En traçant n lignes verticales passant par les centres des cases ont traverse chacune d'entre elles .

Peut-on tracer n-1 lignes traversant chacune des cases ????

Imod

PS : Traverser une case = passer par l'intérieur de la case .

Mathusalem
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par Mathusalem » 05 Mar 2014, 21:06

J ai bien compris. Une solution algorithmique est-elle envisageable ? Il est facile de caracteriser tous les motifs distincts de carres traverses qu'une ligne droite peut generer. Apres il faut simplement verifier si il est possible de choisir n-1 de ces motifs tel que leur union contienne tous les carres.

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chan79
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par chan79 » 05 Mar 2014, 21:13

Salut
C'est le cas le plus simple, mais avec n=2, on voit que ça ne marche pas
Image
Si une droite passe par un point intérieur à C1 et un point intérieur à C2, elle passe par un point E de [OA]. De même, elle passe par F, G et H.
Impossible , il faudrait que (EG)=(FH)
Si n>2, c'est autre chose ...

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Ben314
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par Ben314 » 05 Mar 2014, 22:20

chan79 a écrit:C'est le cas le plus simple, mais avec n=2, on voit que ça ne marche pas
A ta place, j'aurais commencé avec n=1 (ça marche pas non plus...) :zen:

Bon, O.K. : je sort...

P.S. j'ai rien trouvé...
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chan79
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par chan79 » 06 Mar 2014, 10:02

Ben314 a écrit:A ta place, j'aurais commencé avec n=1 (ça marche pas non plus...) :zen:
...


Réflexion qui ne te grandit pas :zen:

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Ben314
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par Ben314 » 06 Mar 2014, 12:12

chan79 a écrit:Réflexion qui ne te grandit pas :zen:
En plus, de bien regarder le cas n=2, ça doit pas être si con que ça vu que, dans ce cas, si on trouve un argument autre que "ça se voit bien...", ça pourait servir pour les cas n>2...
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adrien69
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par adrien69 » 06 Mar 2014, 12:53

Dans le cas n=2, l'argument que je vois c'est l'équation polaire de la droite prolongée du segment par rapport au centre. Une fois qu'on l'a on sait quelle zone angulaire du carré elle ne peut pas toucher.

adrien69
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par adrien69 » 06 Mar 2014, 12:58

Avec le on sait qu'on n'aura pas le carré de l'autre côté de , et ça se calcule proprement et facilement. Mais je pense que ce n'est pas assez conceptuel pour s'étendre.

nodjim
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par nodjim » 06 Mar 2014, 20:06

Dans le cas n=3, il me semble qu'avec 2 segments croisés on couvre toutes les cases.

Imod
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par Imod » 06 Mar 2014, 20:24

Tu as bien vérifié Nodgim , ça me semble impossible :cry:

Imod

nodjim
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par nodjim » 06 Mar 2014, 20:56

Oui ça marche, avec un croisement à 90° dans la case centrale.
Mais c'est l'exception qui confirme la règle.

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chan79
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par chan79 » 06 Mar 2014, 21:36

nodjim a écrit:Oui ça marche, avec un croisement à 90° dans la case centrale.
Mais c'est l'exception qui confirme la règle.

Effectivement, bien vu !
Image

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chan79
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par chan79 » 06 Mar 2014, 21:47

nodjim a écrit:Oui ça marche, avec un croisement à 90° dans la case centrale.
Mais c'est l'exception qui confirme la règle.

Avec n=5 aussi, on dirait que ça va:

Image

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par Imod » 06 Mar 2014, 22:54

Deux exceptions , ça commence à faire beaucoup :doh:

Le problème semble vraiment ardu du coup .

Imod

adrien69
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par adrien69 » 07 Mar 2014, 04:40

n impair et n pair ?
Parce que pour n=2 ça ne marche vraiment pas.

Imod
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par Imod » 07 Mar 2014, 12:19

Pour un carré nXn la conjecture serait plutôt : n segments pour n2 .

J'ai trouvé une solution à trois segments pour un carré 4X4 :

Image

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chan79
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par chan79 » 07 Mar 2014, 13:15

Avec n=6
Image

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par Imod » 07 Mar 2014, 13:24

La conjecture se confirme et la forme des solutions se précise ( je ne suis pas sûr qu'il faille distinguer les cas pairs-impairs ) . Après il faudrait montrer qu'on ne peut pas faire mieux et là ça m'affole un peu :mur:

Imod

 

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