Au moins la moitié .

par **Imod** » 06 Jan 2013, 01:24

Bonsoir à tous :zen:

Un problème que j'ai proposé sans succès sur les maths.net .

Je suis quasi-convaincu que le problème a une solution évidente , encore faut-il mettre le doigt dessus :mur:

On se donne un nombre fini de points dans un carré de côté 1 , l'un deux étant le coin inférieur gauche du carré . Montrer qu'on peut construire des rectangles disjoints , parallèles au carré initial , dont les sommets inférieurs gauches sont les points donnés et dont la somme des aires est supérieure à 0,5 .

Amusez-vous bien , je sèche dessus depuis un moment :zen:

Imod

PS : pour les nouveaux , ce problème peut être l'occasion de revoir une série proposée par Emdro il y a quelques temps et basée sur des carrés de côté 1 .

Imod

par **Imod** » 06 Jan 2013, 02:00

Un petit "up" , juste pour dépasser le précédent qui relève plutôt du message perso .

Imod

par **leon1789** » 06 Jan 2013, 02:08

Salut,
Si on prend un seul point, precisement dans le coin en haut a droite, cela donne un seul rectangle avec une petite aire, inferieure a 0.5, non ?

par **Imod** » 06 Jan 2013, 02:14

J'ai oublié de préciser que l'un des points était le coin inférieur gauche du carré .

Imod

par **leon1789** » 06 Jan 2013, 13:42

Est-ce qu'une récurrence sur le nombre de points a été envisagée ?
(je veux bien faire le cas n=1 :lol3: et n=2 aussi...)

par **Imod** » 06 Jan 2013, 13:52

A vrai dire personne n'a proposé grand chose à part moi :triste:

L'hypothèse que j'ai émise : pour n points dans le carré on peut recouvrir au moins

du carré avec les rectangles . Mais je n'ai pas le début d'une preuve sauf , comme toi , pour les cas simples n=1 ou 2 .

Imod

par **nodjim** » 06 Jan 2013, 14:43

J'imagine qu'il y a une preuve algébrique ?

par **Imod** » 06 Jan 2013, 17:03

En fait je n'en ai aucune idée :doh:

Imod

par **Lostounet** » 06 Jan 2013, 21:53

Bonjour,

On ne peut pas déplacer les points d'un seul côté en gardant les aires des rectangles constantes.. (une série de transformations)... Et voir si cela peut recouvrir les 0,5 .. En montrant qu'on peut toujours s'arranger pour le faire.

J'ai rien dit.

par **Imod** » 15 Jan 2013, 23:25

Un petit up pour ceux qui n'auraient pas vu .

Simple ? Seulement d'apparence , mais ouvert à tous :zen:

Imod

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Jan 2013, 23:37

Pas simple du tout :'( J'ai essayé de faire tourner la chose dans ma tête, ya pas moyen de trouver quelque chose qui aille.

par **Lostounet** » 16 Jan 2013, 00:23

Rebonsoir,

Je n'ai sans doute pas le niveau, mais ce problème m'intrigue...
Peut-on considérer que les n points sont distribués aléatoirement, et qu'il existe une distribution pour laquelle le rapport d'aires est > 0.5

Existe-t-il des modèles physiques pour modéliser ce genre de distributions?

Ou sinon, l'expression de la somme des intégrales ...
C'est une belle énigme.

par **Imod** » 16 Jan 2013, 20:13

Je commence à voir apparaître l'idée d'une solution :zen:

Décidément , j'aime bien ce problème .

Imod

par **beagle** » 16 Jan 2013, 21:00

Imod a écrit:Je commence à voir apparaître l'idée d'une solution :zen:

Décidément , j'aime bien ce problème .

Imod

Toujours à base de (n+1)n/2n^2 ?

par **Imod** » 16 Jan 2013, 21:39

Pas du tout .

Imod

par **beagle** » 17 Jan 2013, 16:48

On appelle somme des aires S

Pour un nuage de points on appelle somme des aires Snu.
Si on projette verticalement le nuage de points sur la grande diagonale ascendante de G à D,
alors on peut faire de nouveaux rectangles dont somme des aires est Sd

Plus le nuage de points est écarté de la diago vers les bords du carré plus on augmente Sn,
Sn varie de Sd à jusqu'à 1 pour nuage de points proches-sur les bords du carré.

On peut montrer facilement que Sd est toujours supérieur à 1/2,
et que pour un n points donnés, Sd min est réalisé en divisant la diago par n, donc des points équidistants sur la diago.
on a alors Sd min égal à (n+1)/2n, mon calcul à moi était (n+1)n/2n^2, et c'est bien ce que Dominique avait donné en début de fil.

Alors il reste à démontrer que pour tout nuage de points on peut retrouver un Sn (maxi ou non) qui est toujours supérieur à Sd qui lui-mème est supérieur à 1/2.
Malheureusement cette partie devait ètre démontrée par Dlzlogic et ptinoir.
Ptètre doraki à coup d'isomorphisme de chez pas quoi?

par **Imod** » 18 Jan 2013, 20:45

C'est toujours les petits bouts qui restent à démonter qui font la beauté des exercices :zen:

Les quelques idées que j'avais prennent un peu l'eau mais j'ai toujours espoir .

Bon courage à ceux qui cherchent :we:

Imod

par **nodjim** » 18 Jan 2013, 20:58

J'imagine, Imod, que tu es parti d'une configuration où tous les rectangles s'étendent jusqu'au coté gauche, et qu'ensuite il ne reste qu'à optimiser ?

par **Imod** » 18 Jan 2013, 21:31

Oui , mais c'est plus compliqué que je pensais et je ne suis pas au bout :mur:

Imod

par **Doraki** » 18 Jan 2013, 23:40

J'ai pas d'idée qui marche.

Au moins la moitié .

Au moins la moitié .

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