DL d'orde 1 quand x tend vers +inf

[FunkyAnts]

Bonjour, pouvez-vous m'aider svp ?

f(x)=

Question : dire si la fonction f admet un développement limité d'ordre 1 quand x tend vers +

f(x) = ax+b+c(1/x)+(1/x) (1/x)


Je ne sais pas comment m'y prendre,
j'ai lu sur le net que f possède un DL d'ordre n au voisinage de l'inf si la fonction composée g(x)=f(1/x) possède un DL d'ordre n au voisinage de 0. Est-ce exact ?

[Ben314]

j'ai lu sur le net que f possède un DL d'ordre n au voisinage de l'inf si la fonction composée g(x)=f(1/x) possède un DL d'ordre n au voisinage de 0. Est-ce exact ?

Oui, c'est exact et c'est presque toujours la bonne façon de procéder. On connait (plus ou moins) par coeur les D.L. pour x voisin de 0 et on essaye systématiquement de s'y ramener :
- En posant t=x-xo lorsquer l'on demande un D.L. pour x proche de xo.
- En posant t=1/x lorsque l'on demande un D.L. pour x proche de oo.

En fait, dans le cas de ton exercice, ce n'est pas obligatoire : on peut aussi directement faire la division dans l'ordre des puissances décroissantes (car x->oo) du polynôme par

[FunkyAnts]

Cela me donne :



Je fais quoi avec cela maintenant :hein:

[Black Jack]

Voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Poser_une_division

Dans "division euclidienne".

Appliqué à l'exercice, on trouve directement :

(x³-1)/(x²-x-2) = x + 1 + 3/x + 4/x² - ...

:zen:

[FunkyAnts]

Merci Ben314 et Black Jack.

[FunkyAnts]

On me demande ensuite : "Que peut-on dire du développement d'ordre n de la fonction f pour x qui tend vers l'infini ? Dire dans quels cas il existe. Le calculer dans ces cas.

Ce que j'ai trouvé :

Le dvl d'ordre n de la fonction f pour x qui tend vers l'infini donne une approximation de plus en plus précise de la fonction.

F admet un DLn en l'infini si et seulement si f(x)*(1/x) est dérivable en 0.

J'ai fait g(x)=f(x)*(1/x), cela donne g(x)=

Que j'ai dérivé, g'(x)=





Ensuite pour le calculer, j'ai posé t=1/x

Avec
Et



Ensuite je réintègre les x dans l'expression.


Pouvez-vous me lire, me corriger et m'orienter si je suis dans l'erreur.

[FunkyAnts]

Bon, j me suis planté dans la dérivée déjà :

C'est g'(x)=

[FunkyAnts]

Et en levant l’indétermination cela me donne :

[FunkyAnts]

On me demande ensuite : "Que peut-on dire du développement d'ordre n de la fonction f pour x qui tend vers l'infini ? Dire dans quels cas il existe. Le calculer dans ces cas ".

Est-ce que je réponds à côté des questions posées ? J'avoue que je suis un peu pommé là.

[Ben314]

Le dvl d'ordre n de la fonction f pour x qui tend vers l'infini donne une approximation de plus en plus précise de la fonction.

Oui : c'est évidement du "blabla", mais je sais pas trop ce qu'il faut répondre façe à une question du style "Que peut-on dire de..."

F admet un DLn en l'infini si et seulement si f(x)*(1/x) est dérivable en 0..

Non : "être dérivable" est équivalent à "admettre un D.L. à l'ordre 1" mais ça ne marche pas pour les D.L. à l'odre >1.
Ici, le seul truc que je vois à dire, c'est que l'on peut effectuer la division de par à l'ordre qu'on veut donc le D.L. à l'ordre n existze quelque soit n.
Mais si on veut écrire le D.L. à l'ordre n avec n quelconque, il faut un peut "tripoter" l'expression de F car on ne connait pas directement l'expression du D.L. de .
Un truc qui peut venir à l'esprit, c'est de décomposer en éléments simples : donc où et sont deux constantes réelles à determiner.

Cela permet d'avoir le D.L. à l'ordre qu'un veut vue que, lorsque , on a donc

[FunkyAnts]

Merci Ben314 pour votre aide.