Voisinage ouvert de l'unité

[Nightmare]

Salut à tous.

Sous le ciel gris de Paris, je suis bloqué face au problème suivant :

E est un espace topologique séparé localement compact
G un groupe topologique localement compact et dénombrable à l'infini (ie dans son compactifié d'Alexandroff, le point à l'infini admet une base dénombrable de voisinages) qui opère continûment et transitivement sur E

Montrer que :
Si U est un voisinage ouvert de l'unité et x dans E, Ux est un voisinage de x

J'ai le lemme suivant :

Lemme 1 : il existe un voisinage V de l'unité, compact et symétrique, et une suite de G tels que

Déjà le lemme me bloque. En fait je croyais que c'était évident : G étant dénombrable à l'infini, on peut le recouvrir par une famille dénombrable de compacts .

Chaque compact est lui même recouvert par l'union des g.U pour g dans , et par compacité, par une union finie de g.U et donc G est union dénombrable de g.U.

Mais il ne semble finalement pas évident qu'on puisse tirer un voisinage compact et symétrique pour lequel ce soit encore vrai...

Auriez-vous une idée pour justifier l'existence d'un tel voisinage de l'unité ?

:happy3:

[Nightmare]

J'ai réussi à montrer le Lemme en montrant l'existence d'un voisinage V compact et symétrique vérifiant . On applique alors mon raisonnement précédent à l'intérieur de V, et on obtient .

Je m'attaque à la suite.

[MacManus]

Salut

Peux-tu expliciter un voisinage V vérifiant ?
(tu désignes bien l'action d'un élément de V sur V lui-même ?)
merci bcp

[Nightmare]

Je ne l'ai pas explicité, juste justifié son existence :

On munie de la topologie produit. La multiplication (notée m) dans G est continue et l'image réciproque de U par celle-ci est donc un ouvert de . On peut donc trouver un voisinage de e tel que U_{1}\times U_{1}\subset m^{-1}(U)[/tex] et comme G est localement compact, on va pouvoir trouver un voisinage compact tel que , en appliquant m, on a donc

On obtient la symétrie en posant .

[MacManus]

D'accord, merci beaucoup

[Nightmare]

Je crois que c'est bon :

On a et donc .

Or, les sont des compacts de E donc sont fermés et de réunion d'intérieur non vide. E étant de Baire, il existe donc tel que soit d'intérieur non vide.

Prenons un point à l'intérieur, est un voisinage de et donc est un voisinage de , ie est voisinage de x.

Par symétrie de V, et donc Ux est aussi voisinage de x !

[MacManus]

les sont des compacts de E

désigne la multiplication (qui est continue) c'est bien ça ?
Tu dis aussi que ces mêmes sont des fermés (ok) et de réunion d'intérieur non vide : c'est bien parce que G est dénombrable à l'infini ?
Juste une petite précision, que signifie exactement ? merci encore pour tes explications!

[Nightmare]

Oups, désolé je croyais avoir précisé ma notation !

est la translation à gauche :

Pour la réunion d'intérieur non vide, c'est normal, cette réunion vaut G qui est forcément d'intérieur non vide (puisqu'en particulier G contient un voisinage ouvert de l'unité)

V^(-1) est l'ensemble des éléments de G dont l'inverse est dans V !

[MacManus]

Ok tout simplement. Merci Nightmare :)

[Nightmare]

Je t'en prie !

Si cela t'intéresse, j'ai eu à prouver cet proposition dans le but de montrer que E était homéomorphe à

[MacManus]

Oui je trouve ça très intéressant et très instructif (en tout cas pour moi), la topologie étant quand même un "gros morceau", ça ne fait pas de mal de revoir certaines notions et théorèmes (Baire). Effectivement ta preuve m'intéresse, même si j'ai peur de ne pas tout maîtriser...

[Nightmare]

Il ne reste plus grand chose, on montre ensuite grâce à ça que fx est une application ouverte et donc que le passage au quotient est aussi une application ouverte donc un homéomorphisme.

[MacManus]

On a

Stab(x)={g G / g.x=x}
On veut démontrer finalement qu'il existe une application continue bijective entre E et G/Stab(x)
Pour montrer que est une application ouverte, je dois montrer qu'elle est surjective non ? (ie que l'image de tout ouvert de G est un ouvert de G)

[Nightmare]

Pourquoi surjective? En fait elle est surjective par hypothèse puisque G agit transitivement sur E ! Mais ce n'est pas du tout suffisant pour dire qu'elle est ouverte !

[MacManus]

doit être un morphisme de groupe ?
pour montrer qu'elle est ouverte, je dois montrer que tout vosinage ouvert de E est un voisinage ouvert de E non? (par continuité)

[Nightmare]

fx n'est même pas à valeur dans un groupe, pas question d'être un morphisme de groupe :lol3:

Sinon tu as bien compris ce qu'il fallait montrer.

[MacManus]

Bon je vais y réfléchir plus calmement une prochaine fois car je commence à fatiguer... mais je promets de revenir avec une réponse correcte la prochaine fois :happy3:

merci bonne soirée
A bientôt

[MacManus]

Salut Nightmare, je suis résolu à finir cette démo.

En fait je ne connaissais pas véritablement la notion de "groupe topologique". Tout mon problème vient de là c'est certain.

Donc en reprenant tes notations, et d'après la définition d'un groupe topologique (ici G muni de la topologie produit), on peut dire que l'application définie sur G à valeurs dans E par est continue. De plus, l'application : est continue également. (Tout ceci d'après la définition d'un groupe topologique).

Une des propriétés des groupes topologiques est que les translations sont des homéomorphismes, je le découvre

je pense pouvoir montrer que "E est homéomorphe à G/Stab(x)" en utilisant la propriété universelle du quotient, et en utilisant le fait, donc (d'après cette propriété), qu'il existe une application (unique ?) de G/Stab(x) dans E continue (car est continue) et bijective.

[bijective car les éléments de G/Stab(x) ne dépendent pas des représants de G je crois :hein: : en d'autres termes, si je note l'application de G dans G/Stab(x) et si je considère des éléments de G/Stab(x) et (pour g,h dans G) tels que , alors ça signifie que , autrement-dit que et donc que , cad que .]

(Rq : on a)

On sait que est un ouvert.
et donc est un ouvert :
En effet,, est un ouvert car (on utilise le fait que est continue (l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert). Puisque une réunion d'ouverts est ouverte, on en déduit que est un ouvert.

On vient donc de montrer que est une application ouverte. Il ne reste plus qu'à montrer que (qui est bijective est continue) est ouverte.
( ouverte implique ouverte). Puisque est bijective, existe et est elle aussi continue.
On a donc : =. Ce qui montre que est ouverte.

On a donc notre roméomorphisme! Bon voilà j'espère ne pas dire trop de bêtises...(c'est en regardant la définition sur wikipédia d'un "groupe topo" que j'ai pu continuer)

[Nightmare]

Salut :happy3:

Plusieurs choses :

est continue seulement car G opère continûment sur E et bijective en partie vient du fait que l'opération est transitive.

Ensuite je n'ai pas compris ton

On a par définition !

[MacManus]

est continue seulement car G opère continûment sur E et bijective en partie vient du fait que l'opération est transitive.

Oui en effet, c'est sans doute plus simple écrit comme ça !

Ensuite je n'ai pas compris ton
On a par définition !

et est un voisinage ouvert de x, donc est ouverte.