Vocabulaire morphisme (besoin de bases solides)

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capitaine nuggets
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vocabulaire morphisme (besoin de bases solides)

par capitaine nuggets » 14 Juil 2012, 15:05

Bonjour, j'aimerais savoir quelle est la différence entre les termes "isomorphe" et isomorphisme".

Est-ce que dire que deux groupes, espaces vectoriels, anneaux sont isomorphes signifie qu'il existe un isomorphisme de l'un dans l'autre ?

Comment trouver tous les morphismes tous les morphismes de groupes de dans ?

Enfin, pourriez-vous m'aider à faire le tri : je suis perdu dans les définitions données pour morphisme, isomorphisme, endomorphisme, automorphisme, homomorphisme.
Pour certains on parle de structures algébriques et pour d'autres d'espace vectoriel.

Merci parce que c'est vraiment le bazar dans ma tête :we:
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- Comment écrire de belles formules mathématiques.
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Skullkid
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par Skullkid » 14 Juil 2012, 19:43

Bonjour, les morphismes (aussi appelés homomorphismes, c'est la même chose) sont des applications entre deux ensembles structurés qui respectent leur structure (l'image de la composée est la composée des images, etc). Il y a donc des morphismes de groupes, des morphismes d'anneaux, des morphismes d'espaces vectoriels, des morphismes de corps, et ainsi de suite, chacun ayant des propriétés particulières.

Un endomorphisme est un morphisme d'un ensemble structuré dans lui-même.
Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Lorsqu'il y a un isomorphisme entre deux structures, ces deux structures sont dites isomorphes.
Un automorphisme est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme.
Une application linéaire est un morphisme d'espaces vectoriels.

Pour les morphismes de (Q,+) dans (Z,+), essaye de fouiller un peu pour voir quelles seraient les images de certains éléments de Q.

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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 18 Juil 2012, 00:41

Skullkid a écrit:Bonjour, les morphismes (aussi appelés homomorphismes, c'est la même chose) sont des applications entre deux ensembles structurés qui respectent leur structure (l'image de la composée est la composée des images, etc).


Quand tu me dis ça, ca veut dire par exemple que f(x+y)=f(x)+f(y) ?

Mais quand on parle de morphisme de groupe, il se peut que les deux opérations différent :
ex :
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Skullkid
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par Skullkid » 18 Juil 2012, 01:00

Oui les opérations peuvent différer d'une structure à l'autre. La liste des propriétés varie selon les structures considérées. Pour un morphisme f d'un groupe (G,*) vers un groupe (H,°), la propriété principale c'est : pour tous x et y de G, f(x*y) = f(x)°f(y). L'image par f de la composée de x et y par la loi * est égale à la composée par la loi ° des images de x et y.

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par capitaine nuggets » 18 Juil 2012, 02:07

Skullkid a écrit:Oui les opérations peuvent différer d'une structure à l'autre. La liste des propriétés varie selon les structures considérées. Pour un morphisme f d'un groupe (G,*) vers un groupe (H,°), la propriété principale c'est : pour tous x et y de G, f(x*y) = f(x)°f(y). L'image par f de la composée de x et y par la loi * est égale à la composée par la loi ° des images de x et y.


ok, merci :we:
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