Vérification d'une identité

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Jenny0801
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Vérification d'une identité

par Jenny0801 » 27 Oct 2013, 15:29

Bonjour, j'ai besoin d'un petit coup de pouce sur ce problème dans lequel je ne sais par où commencer...
Je dois vérifier cette identité :

sin 2a / 1 + cos 2a x cos a / 1 + cos a = tg a / 2

Je sais déjà que :

1 + cos 2a = 2 cos² a

1 + cos a = 2 cos² a/2

sin 2a = 2 sin a cos a donc sin a = 2 sin a/2 cos a/2

Mais je ne sais pas appliquer...
Merci d'avance pour votre aide !



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chan79
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par chan79 » 27 Oct 2013, 15:45

Jenny0801 a écrit:Bonjour, j'ai besoin d'un petit coup de pouce sur ce problème dans lequel je ne sais par où commencer...
Je dois vérifier cette identité :

sin 2a / 1 + cos 2a x cos a / 1 + cos a = tg a / 2

Je sais déjà que :

1 + cos 2a = 2 cos² a

1 + cos a = 2 cos² a/2

sin 2a = 2 sin a cos a donc sin a = 2 sin a/2 cos a/2

Mais je ne sais pas appliquer...
Merci d'avance pour votre aide !

salut
ton expression n'est guère lisible

Jenny0801
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par Jenny0801 » 27 Oct 2013, 15:49

sin 2a/1+cos 2a multiplié par cos a/1+cos a = tan a/2
Merci

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chan79
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par chan79 » 27 Oct 2013, 16:12

Jenny0801 a écrit:sin 2a/1+cos 2a multiplié par cos a/1+cos a = tan a/2
Merci

utilise
sin(2x)=2sin(x)*cos(x)

cos²(x)=(1+cos(2x))/2

c'est rapide

Jenny0801
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par Jenny0801 » 27 Oct 2013, 16:30

Merci mais c'est pas rapide pour moi :(

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chan79
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par chan79 » 27 Oct 2013, 16:56

Jenny0801 a écrit:Merci mais c'est pas rapide pour moi :(

tu peux déjà remplacer sin(2a) par 2sin(a)cos(a)
et 1+cos(2a) par 2cos²a

Jenny0801
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par Jenny0801 » 27 Oct 2013, 17:18

oui merci mais c'est là que j'étais bloquée...
Dans mon tout 1er message j'avais noté ce que tu me dis mais je vois toujours pas comment je me sors de là :(
Désolée et encore merci.

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chan79
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par chan79 » 27 Oct 2013, 17:22

Jenny0801 a écrit:oui merci mais c'est là que j'étais bloquée...
Dans mon tout 1er message j'avais noté ce que tu me dis mais je vois toujours pas comment je me sors de là :(
Désolée et encore merci.

en simplifiant les 2 et les cos(a) ça te fait quoi ?

Jenny0801
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par Jenny0801 » 27 Oct 2013, 17:33

ça y est ! merci beaucoup !!!!
J'ai fait une petite pause et tout est devenu clair...
Merci, sincèrement, de ta patience !

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leon1789
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par leon1789 » 28 Oct 2013, 13:16

Dans ce genre de calculs, soit on est expérimenté et astucieux (genre Chan79), soit on utilise une méthode simple qui déroule des calculs "bêtes et méchants", en utilisant uniquement les deux formules d'Euler qui expriment les cos(...) et sin(...) avec les fonctions exp(i ...)

/!\ Préalablement, chasser les dénominateurs.

sin(2a)/(1+cos(2a)) . cos(a)/(1+cos(a)) = tan(a/2)
car
sin(2a) . cos(a) . cos(a/2) = ( exp(7ib) + exp(5ib) + exp(3ib) + exp(ib) - ... ) / 8i où j'ai posé b=a/2 pour davantage de lisibilité
et
(1+cos(2a)) . (1+cos(a)) . sin(a/2) = ( exp(7ib) + exp(5ib) + exp(3ib) + exp(ib) - ... ) / 8i ,
c'est-à-dire la même expression !


Certes, tout cela reste très calculatoire et il ne faut pas paniqué pendant les calculs... :lol3:

 

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