Vérification d'une égalité ...

[Ptiboudelard]

Bonjour à tous !

Voilà mon problème : j'ai une égalité à prouver, mais j'ai beau la retourner dans tous les sens, je n'y parviens pas... Pouvez vous me donner une piste ? Merci !

Tout d'abord les hypothèses : ( que l'on a prouvées au cours de questions antérieures ) :

où F désigne une fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité

On suppose dans la question qu'il existe un réel tel que pour tout de

Montrer que pour tout réel de , on a l'égalité suivante :

donc je vous montre ce que j'ai fait :

je suis parti du membre de gauche :





et après je ne vois pas du tout comment faire pour me débarrasser du log, et retomber sur mes pattes...

Merci pour votre aide !!!

P.S: je suis désolé, je n'arrive pas à enlever le "No query string" ... je ne comprends pas ce qui se passe...

[Ben314]

P.S: je suis désolé, je n'arrive pas à enlever le "No query string" ... je ne comprends pas ce qui se passe...

Je sais pas bien pourquoi, mais l'interpréteur TeX fait une alergie au signe '-' qui suivent la balise ouvrante : met un espace entre les deux et... ça marche.

En ce qui concerne l'exo, je comprend pas bien comment tu fait pour trouver des F' au dénominateur...
Perso, partant de l'égalité c t=F'(t)/(1-F(t)), je dit que les deux primitives doivent être égales à une constante prés, et... c'est fini.

[Ptiboudelard]

hmmm je ne vois pas trop où tu veux en venir quand tu dis que les deux primitives doivent être égales à une constante près ... ?

En fait, si je trouve un au dénominateur, c'est que je me suis arrangé pour retomber sur en multipliant par . Mais ca ne m'avance guère. Peux tu me réexpliquer plus en détails ta manière de faire ?

Merci

[Ben314]

J'utilise simplement le fait que, si deux fonctions f et g continues sont égales (sur un intervalle) alors leurs primitives doivent être égales à une constante prés (car les deux primitives ont la même dérivée !!!!)
Partant de , donne moi une primitive du terme de gauche et une primitive du terme de droite...
Dans le cas présent, on peut en plus déterminer la valeur de la constante en faisant un mini raisonnement...

[Ptiboudelard]

donc j'ai posé et deux primitives. On a


ainsi, si et que g et h sont continues, on peut dire d'après le cours que leurs primitives sont elles mêmes égales, à une constante près. ( merci pour ce rappel de cours que j'avais complètement passé à la trappe )

D'où une primitive de est et une primitive de est

Do you agree with me ?

[Ben314]

Impec.
(attention sur les primitives dans un exo quelconque a ne pas oublier le "sur un intervalle")
Aprés, as-tu vu pourquoi la constante est forçément nulle ici ?

[Ptiboudelard]

euuuuh non je ne vois pas trop pourquoi elle serait nulle ( dans tous les cas, elle s'annule quand on la dérive ... donc pour tout k constante, cela marche... non ? )

[Ben314]

Oui, si on n'avais que l'indic sur les dérivées, on n'aurait aucune idée de la constante, mais ici ce n'est pas le cas.
A chaque fois que l'on calcule des primitives, c'est toujours "à une constante prés" et la méthode pour trouver la constante (quand on le peut) est de prendre une valaur particulière pour t.
Je pense que ta fonction de répartition vérifie F(0)=0 (à vérifier avec l'énoncé complet) et tu peut en déduire que la "constante" est forcément nulle.

[Ptiboudelard]

effectivement ! ( ce n'était pas demandé par l'exercice, mais l'indication me sera utile :-) ) merci pour ton aide ! :-)

[Ben314]

Au vu de l'énoncé (montrer que pour tout t positif on a...), je pense que ta variable aléatoire est à valeur dans .
Si c'est le cas, cela implique bien que F(0)=0.

[Ptiboudelard]

oui c'est bien ça. D'ailleurs, en dernière question, on suppose que la variable T suit une loi exponentielle donc, par définition, elle est à valeurs dans !

Voilà ! Merci bien pour ton aide précieuse. Tu m'as débloqué pour une question, et ça m'a permis de finir l'exercice lol. Les questions suivantes ne m'ont pas posé de problème