Demontrer une égalité

[abel]

Voilà, je m'entraîne pour les oraux et je tombe sur cet exo que je n'arrive pas à résoudre :
soit avec reel
Soit

3°) il faut montrer que

Voilà je ne vois pas comment faire ceci, car je ne sais pas calculer la série X(s) et donc si je veux faire une intervertion somme/intégrale, je me trimballe toujours du n.

Merci à ceux qui m'aideront.

PS : j'ai une autre question qui n'a rien à voir, comment on fait pour pouvoir écrire des equations sur le forum avec l'éditeur d'équations de word (genre pr faire des "sigma", des symboles d'intégrale etc...)??? car j'en ai marre il manque plein de symboles.

[mln]

Bonjour,


inverse la somme et l'intégrale...(je te laisse le justifier)

changement de variable u= (n+1)t
chaques intégrales valent :

Donc
Voili, voilou
Bon courage

[abel]

Merci beaucoup !!!

[abel]

Bonjour à tous, j'ai encore un pb dans un exo : il s'agit de trouver une limite (apres avoir prouver son existence).
Voilà :
In = intégrale (0 à +oo , e^(-x/n²)/(1+2*cos²(x)) dx) n>=1
1°) Mq In est bien déf : ça c'est fait
2°) Mq In/n² est bornée : ça c'est aussi fait

3°)Mq In/n² admet une limite en +oo et calculer la.
(indication : intégrer le truc de k*Pi à (k+1)*Pi) Là je bloque

Je me doute qu'il faudra sommer les intégrales pr faire de 0 à +oo mais je ne vois pas de moyen de la trouver, le meilleur truc que j'arrive à faire c'est de l'encadrer per 1/3 et 1...
Vos conseils sont les bienvenus.

Merci.

EDIT : il y a une question 4°) qui demande de trouver un équivalent de In/n², ce que je trouve bizzare c'est que l'equivalent on l'a avec la limite non ???


Finalement j'ai trouvé sqrt(3)/3...Qqun peut-il confirmer (ma méthode était de majoré par exp(-kPi/n²)*integrale et de minorer par exp(-(k+1)Pi/n²*integrale. Quand on somme le tout on arrive à une série convergente de chaqie côté et qui tend vers sqrt(3)/3

[yos]

T'es sûr que c'est pas la limite de In/n² qui est demandée? Parce que In tend vers + infini.

[abel]

Oui merci c'est In/n² je me suis trompé en recopiant, mais mon raisonnement concerne In/n².
(rectifié)

[yos]

Si on fait ,... mais j'y crois pas.

[abel]

- En fait j'ai encadré l'intégrale de kPi à (k+1)Pi en remplacant le x du exp(..) par kPi d'une part, et par (k+1)Pi d'autre part, ainsi j'obtiens un encadrement juste pr l'integrale entre kPi et (k+1)Pi sachant que pr les 2 bornes on se retrouve avec une integrale (k*Pi à (k+1)*Pi , 1/(1+2cos²(x) dx) qui est indépendante de k et qui vaut Pi*sqrt(3)/3 (maple)..Apres, j'ai sommé le tout : les exp(...) formaient une serie géometrique et ça se simplifiait bien...

[yos]

Sinon l'intégrale est égale, via le changement de variable à . Cela permet de sortir l'intégrale (qui ne dépend plus de k) de la somme sur k, et de sommer une série géométrique. On achève en encadrant l'intégrale. Mais je crois que c'est ce que tu as trouvé.

[abel]

Ouai j'arrive au meme encadrement et ta méthode me semble + naturelle d'ailleurs.
merci bien.

[yos]

Le résultat final est bien . Avec ce que j'ai fait, on peut éviter les encadrements en permutant limite et intégrale mais il faut alors justifier.
C'est un bel exercice.

[mln]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec l'intégrale :
changement de variable u = tan(x).
et ?
Je sais que ca doit etre égale à mais comment justifie-t-on : ?( mais...).
j'espère que vous comprenez mon problème.
Merci.

[abcd22]

Bonjour !
Le problème vient peut-être du fait que x varie de 0 à et que tan n'est pas définie en ?

[mln]

Effectivement.
Merci

[abel]

Moi j'ai utilisé cos² = (1+cos(2x))/2 et apres...Maple car je suis pas tres bon en calcul d'integrale :mur:

EDIT : ptetr qu'en passant par tan(x/2) on se retrouve avec une borne qui tend vers l'infini mais il y a ptetr convergence....

[mln]

Merci.
Je vais essayer en linéarisant.
Elle m'intrigue cette intégrale, quand meme.

[abcd22]

Si on coupe l'intégrale en 2 de 0 à et de à avant de faire le changement de variable u = tan x ça marche.

[mln]

Merci beaucoup :we: