Vectoriel

[Jjl]

Bonjour j'ai fais cet exercice mais j'ai du mal avec la question 2),en effet j'ai vu dans mes cahier deux corrigé différent pour cette même question
Exercice 6 :
Soient F = {(x; y; 0) 2 IR3 | x + 2y = 0} et G = f(x; 0; z) 2 IR3 j x ;) z = 0:
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de IR3:
2. Déterminer F + G:
3. F et G sont-ils supplémentaires ?

Et voici l'un des deux corrigé(j'ai trouvé la même chose):
ii)F={(-2y,y,0)...)} et F=Vect{(-2,1,0)} G=Vect{(1,0,1)} et F+G=Vect{(F U G)}=Vect{(-2,1,0)+(1,0,1)}.
Et dans l'autre corrigé,c'est écris: F={(x,0,0)+(0,y,0)/x,y appartienne à R} et F= Vect{(1,0,0)+(0,1,0)} mais je ne sais pas quel corrigé est bon...

[Ben314]

Je ne sais pas si c'est une faute de frappe ou une erreur, mais si c'est une erreur elle est gràve :

... F+G=Vect{(F U G)}=Vect{(-2,1,0)+(1,0,1)}.

En fait Vect{F U G} = Vect{(-2,1,0) , (1,0,1)} avec une virgule (ou un pont virgule, c'est comme tu le sent...) entre les deux vecteurs et surement pas un +.
L'espace vectoriel engendré par deux vecteur, c'est trés rarement la même chose que celui engendré par la somme des deux vecteurs !!!

[Jjl]

Je ne sais pas si c'est une faute de frappe ou une erreur, mais si c'est une erreur elle est gràve :
En fait Vect{F U G} = Vect{(-2,1,0) , (1,0,1)} avec une virgule (ou un pont virgule, c'est comme tu le sent...) entre les deux vecteurs et surement pas un +.
L'espace vectoriel engendré par deux vecteur, c'est trés rarement la même chose que celui engendré par la somme des deux vecteurs !!!

Oui c'est une faute,je ne m'en étais pas rendu compte,mais c'est le premier corrigé qui est le bon alors?

[Ben314]

Aprés, dans le corrigé où il y a écrit "F={(x,0,0)+(0,y,0)/x,y appartienne à R}", s'il n'y a écrit que ça, c'est clairement faux : où est passé la condition x+2y=0 de la définition de F ? (à la poubelle...)

Aprés, là où il faut que tu te méfie, c'est que lorsque l'on écrit qu'un sous espace vectoriel est le "vect" d'une famille, il n'y a pas du tout unicité de la famille donc il y a plusieurs réponse possibles...

[Jjl]

Oui c'est une faute,je ne m'en étais pas rendu compte,mais c'est le premier corrigé qui est le bon alors?

Ok donc le deuxième corrigé est faux c'est bien ce que je pensais,et oui je vais me méfié de ça,et merci pour ton aide.
Mais j'aurais une autre question,est-ce que j'aurais toujours des condition du genre "x+2y=0" et si non dans ce cas est ce que F+G pourrait être égale à ce qui est écris dans le deuxième corrigé?

[Ben314]

Mais j'aurais une autre question,est-ce que j'aurais toujours des condition du genre "x+2y=0"

Si tu parle des exercices qu'on risque de te donner, ce n'est pas forcé : on peut parfaitement te donner au départ un truc comme qui lui est bien engendré par les deux vecteurs (1,0,0) et (0,1,0).

...dans ce cas est ce que F+G pourrait être égale à ce qui est écris dans le deuxième corrigé?

oui, le début de la correction serait correct, mais dans ce que tu as mis du 2em corrigé, ça s'arrète à F=vect{...} et tu n'as pas écrit ce qu'il en déduisait concernant F+G.
Normalement, tu en déduit que F+G=vect{ (1,0,0) ; (0,1,0) ; (1,0,1) } et, avec un petit calcul, tu montre qu'en fait F+G c'est R^3 tout entier.

[Jjl]

Si tu parle des exercices qu'on risque de te donner, ce n'est pas forcé : on peut parfaitement te donner au départ un truc comme qui lui est bien engendré par les deux vecteurs (1,0,0) et (0,1,0).

oui, le début de la correction serait correct, mais dans ce que tu as mis du 2em corrigé, ça s'arrète à F=vect{...} et tu n'as pas écrit ce qu'il en déduisait concernant F+G.
Normalement, tu en déduit que F+G=vect{ (1,0,0) ; (0,1,0) ; (1,0,1) } et, avec un petit calcul, tu montre qu'en fait F+G c'est R^3 tout entier.

Oui désolé je n'ai pas écris ce que ça aurais donné mais oui j'aurais trouvé ça aussi,en tout cas merci mille fois pour ton aide Ben314 c'est sympa.

[Jjl]

Oui désolé je n'ai pas écris ce que ça aurais donné mais oui j'aurais trouvé ça aussi,en tout cas merci mille fois pour ton aide Ben314 c'est sympa.

Ah une petite question,pourquoi F est engendré par deux vecteur et pas G(F a été "décortiqué" en deux vecteur mais pourquoi on ne décortiquer pas G aussi?(d'ailleur pourquoi on décortique F) merci,désolé pour toutes ces questions.

[Ben314]

Si on veut regarder ça au sens "naïf" (et c'est pas con pour comprendre), si tu enlève la condition x+2y=0 dans F alors tu as deux truc à tirer au pif (x et y) et aucune contrainte sur ces trucs -> 2 "degrés de liberté" (i.e. 2 vecteurs dans le "vect") alors que dans G, tu as aussi 2 truc (x et z), mais tu ne peut pas les tirer "au pif) vu que tu as une "contrainte" x-z=0. comme cette contrainte te dit que, dés que tu as choisi un des deux truc (x ou z) tu as plus le choix pour l'autre (il faut prendre z=x, ben en fait il y a qu'un seul truc que tu peut tirer au pif -> un seul degré de liberté (i.e. 1 seul vecteurs dans le "vect")

Aprés, si tu veut écrire tout ça proprement, ben tu écrit (dans le cas sans contrainte pour F) qu'un élément de F, c'est un truc qui s'écrit x(1,0,0)+y(0,1,0) avec x et y quelconques (super important) donc que
F=vect{ (1,0,0) ; (0,1,0) }
Par contre, concernant G, si tu peut effectivement dire qu'un vecteur de G s'écrit x(1,0,0)+z(0,0,1) , mais là, x et z ne sont pas "quelconques" vu qu'ils doivent vérifier z-x=0 donc on n'a pas
G=vect{ (1,0,0) ; (0,0,1) }
Pour trouver le vect de quoi donne G, il faut remplacer par exemple le z par x (vu qu'on doit forcément prendre z=x) et là, on peut dire que x (tout seul) est quelconque, mais il n'y a plus qu'un seul vecteur.
On pourait évidement faire le contraire : remplacer x par z et dire que z est quelconque...