Vecteur et valeur propre...

[collinm]

salut

j'ai un problème à résoudre et je comprend pas trop ce que je dois faire

une membrane élastique dans le plan x1Ox2 délimité par le cercle d'équation

x²1+x²2=1

est étirée selon la transformation linéaire t: X-> Y=AX

X=[x1;x2]
Y=[y1;y2]

A=[4,3;3,4]

une direction principale de cette transformation est donnée par un vecteur X=[x1,x2]^T pur lequel la direction du vecteur Y=T(X) est de même sens ou de sens opposé, c'est à dire que le vecteur X est parallèle au vecteur Y

a) Formuler le problème de trouver les directions principales de la transformation T en termes d'un problème de vecteurs propres et valeurs propres

ce que j'ai fait pour le peu que je comprends...

4x+3y=Vy1
3x+4y=Vy2

4x1+(3-V)y1=0
3x2+(4-V)y2=0

là je sais quoi faire...

[palmade]

Un vecteur propre est transformé en un vecteur homothétique, dans le rapport de la valeur propre correspondante: on aura alors AX=aX où a est un scalaire soit
4x1+3x2=ax1 donc (4-a)x1+3x2=0
3x1+4x2=ax2 3x1+(4-a)x2=0
Ce système n'est compatible que pour (4-a)^2-9=0 soit a=1 ou a=7
pour a=1 x1=-x2
pour a=7 x1=x2
qui sont donc les directions principales de la transformation

[collinm]

merci beaucoup ça ma débloqué pour quelques autres problème

x1=-x2
x1=x2

sont les directions principales



si je veux donner l'angle que fait chaque direction par rapport à l'axe des y1

ça serait

cos x = x1/y1 et cos x=-x2/y1
?

quel interprétation qu'on peut donnée des valeurs propre?
par exemple je dois donner l'interprétation des valeurs propre de la matrice A par rapport à l'étirement de la membrane

[palmade]

x1=x2 c'est la diagonale principale donc d'angle pi/4; de même x1=-x2 correspond à -pi/4
Quant aux valeurs propres, la membrane ne se déforme que dans la direction de la diagonale principale (vp 7) puisque dans l'autre la vp vaut 1

[collinm]

x1=x2 c'est la diagonale principale donc d'angle pi/4; de même x1=-x2 correspond à -pi/4
Quant aux valeurs propres, la membrane ne se déforme que dans la direction de la diagonale principale (vp 7) puisque dans l'autre la vp vaut 1

comment fait tu pour trouver pi/4?

[cesar]

4x+3y=Vy1
3x+4y=Vy2

il te faut remarquer aussi que la matrice est symetrique reelle==> toutes ces valeurs propres sont reelles, elle est diagonalisable et la base de vecteurs propres est orthogonale...le pied quoi!!!

[collinm]

il te faut remarquer aussi que la matrice est symetrique reelle==> toutes ces valeurs propres sont reelles, elle est diagonalisable et la base de vecteurs propres est orthogonale...le pied quoi!!!

je comprend pas ce que tu veux dire
j'imagine que ces des propriétés?

[cesar]

je comprend pas ce que tu veux dire
j'imagine que ces des propriétés?

cela découle de theoremes sur les matrices autoadjointes = si on transpose une matrice à coef complexes, et que l'on prend sa conjugué complexe, la matrice est autoadjointe si la cette "matrice transconjuguée" est égale à la matrice de départ. Il est facile(relativement...) de montrer que les valeurs propres sont reelles, qu'elle est diagonalisable et que la base de vecteurs propre est orthogonale. Dans le cas des reels, ces matrices speciales sont les matrices symétriques. C'est tres pratique dans un cas comme le tien : on peut verifier que l'on ne s'est pas trompé

[collinm]

x1=x2 c'est la diagonale principale donc d'angle pi/4; de même x1=-x2 correspond à -pi/4
Quant aux valeurs propres, la membrane ne se déforme que dans la direction de la diagonale principale (vp 7) puisque dans l'autre la vp vaut 1

tu as fait quoi pour arriver à pi/4?

[palmade]

Voyons! Si c'est la diagonale principale!
D'une façon générale une droite d'angle a aura pour équation x2=x1 tan(a)
Ici tan(a)=1 donc a=pi/4