Variété Différentielle

[Archytas]

Coucou, j'essaie de m'imaginer ce que c'est qu'une variété différentielle en petite dimension dans des trucs pas trop compliqués comme R^n, nR^k)

Merci, ciao

[Doraki]

Euh une variété différentielle c'est pas juste un espace topologique.

C'est un espace topologique + un atlas de cartes dont les fonctions de transitions dont Ck
ou alors
Un espace topologique X + une notion de fonctions Ck de X dans R.

Si tes fonctions de transitions entre les cartes de ton atlas ne sont pas Ck tu vas avoir des fonctions qui sont Ck sur une carte et pas Ck sur une autre carte, donc tu vas avoir des problèmes pour parler de "fonctions Ck de X dans R".

Il me semble d'ailleurs que certains espaces topologiques (S7 ou R4 ?) ont PLUSIEURS structures différentielles non équivalentes possibles dessus.

[Robot]

Voir wikipedia pour faire le point.

[Archytas]

Je connais wikipédia, et à peu près bien mon cours donc pas la peine de rappeler les définition je cherche plus à avoir une vision géométrique de ce que je manipule (ce qui me semble assez primordial dans un matière appelée "géométrie") comme si par un exemple quelqu'un veut savoir à quoi ressemble une fonction continue de R dans R si vous donnez la définition avec epsilon ou avec des préimage d'ouverts il sera pas trop avancé.
Ok Doraki je vais mieux reformuler, disons que pour le moment je reste dans les variétés topologiques, on oublie la régularité et par exemple on voit les surfaces comme des trucs qu'on peut "déplier" comme un patron et coller sur le plan (et les lignes qu'on "étire" pour les mettre sur R) ce qui nous permet aussi d'oublier les cartes locales. Je sais pas si je suis clair, enfin bon si quelqu'un suit encore mais peut il me dire si les variétés différentielles en petites dimensions correspondent bien à une sorte de différentiation des lignes surfaces et volumes.

[Robot]

Sans doute l'article de wikipedia te passe par dessus la tête.

"si les variétés différentielles en petites dimensions correspondent bien à une sorte de différentiation des lignes surfaces et volumes."
Qu'est-ce que ça veut dire ???

Quant à ton autre question sur les "patrons" : au moins en dimension d inférieure ou égale à 3, une variété topologique compacte a une sorte de "patron" (une partie compacte de avec une règle d'identification de morceaux du bord pour reconstruire la variété)
Exemple : un petit dessin emprunté à Aziz El Kacimi :



En recollant selon les "prime" on obtient une bouée à deux trous (surface de genre 2).

[Archytas]

Ok, oui en effet ça me passe un peu au dessus de la tête l'article wiki !
Je vois trop comment ça fait une bouée ^^

[Robot]

Regarde ici (deuxième ligne du premier dessin).

[Archytas]

Ok ok ça commence à se dessiner mais y a du boulot ^^
Merci pour votre aide !

[Robot]

Avec plaisir.