[licence 1ère année ] Variation d'une fonction

[Anonyme]

Bonjour je sèche sur la question suivante :

Soit la fonction f : R -> R définie par f ( x ) = (cos x) / (1 + x^2 ) pour
tout x dans R.
Montrer que x -> 1 + x^2 est croissante sur [0 ; + inf [ . (ça c'est bon
ca découle de la croissance de x -> x ^2 sur R+ je crois)
En déduire que f est décroissante sur [ 0 ; pi ] .
La je bloque je suppose qu'il faut mettre f ( x ) sous une autre forme pour
pouvoir utiliser les théorèmes sur
la variation d'une somme de deux fonction ou de la composée de deux
fonctions mais je ne parviens pas a trouver laquelle...
J'ai aussi pensé au théorème sur la variation d'un produit de fonctions de
meme variations
et de meme signe positif mais tristement ca ne marche que sur [ 0 ; pi / 2 ]
puisque cos change de signe sur [ 0 , pi ] en pi/2.
Merci d'avance pour tout indice,piste ou réponse.
Bonne mathématiques.
Yohann

[Anonyme]

Statik- a écrit :
> Soit la fonction f : R -> R définie par f ( x ) = (cos x) / (1 + x^2 ) pour
(...)
> En déduire que f est décroissante sur [ 0 ; pi ] .

Sûr ? Ca ne me paraît pas très vrai. En calculant la dérivée, on tombe
sur la recherche du signe de sin(x)+sin(x)*x^2+2*cos(x)*x, or en Pi/2,
ça vaut 1+Pi^2/4 et en Pi ça vaut - 2 Pi

Dès lors il y a annulation et changement de signe quelque part entre les
deux.

--
Nico.

[Anonyme]

La dérivée de cos est -sin, donc la dérivée est négative.

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news:40FC0FDB.1AF2C252@yahoo.fr...
> Statik- a écrit :[color=green]
> > Soit la fonction f : R -> R définie par f ( x ) = (cos x) / (1 + x^2 )[/color]
pour
> (...)[color=green]
> > En déduire que f est décroissante sur [ 0 ; pi ] .
>
> Sûr ? Ca ne me paraît pas très vrai. En calculant la dérivée, on tombe
> sur la recherche du signe de sin(x)+sin(x)*x^2+2*cos(x)*x, or en Pi/2,
> ça vaut 1+Pi^2/4 et en Pi ça vaut - 2 Pi
>
> Dès lors il y a annulation et changement de signe quelque part entre les
> deux.
>
> --
> Nico.[/color]

[Anonyme]

Wanadoo a écrit :
>
> La dérivée de cos est -sin, donc la dérivée est négative.

Certes, il manquait un signe, et il manque également le dénominateur
pour tout dire, mais là n'est pas la question. Le truc intéressant c'est
qu'il y a un changement de signe.

--
Nico.

[Anonyme]

j'ai rien dit, tu as raison, (j'avais pas vu que vous aviez déja multiplié
par -(1+x^2)^2

[Anonyme]

Hum je vous remercie pour vos réponse et le signe de la dérive de f. Mais
comme vous l'avez peut etre remarqué dans le post on me demande de déduire
le sens de variation de f de celui de x -> x^2 +1.
Je doute donc de pouvoir utiliser l'étude du signe de la dérivée de f pour
détermnier les variations de f.
J'essaye donc toujours avec la preuve de l'implication : x f ( x )
>= f ( y ) (ou x, y sont des éléments de [ 0 , pi ] tels que x <= y ),
mais je me heurte a des problèmes de signes au niveau des inégalités..
Merci d'avance pour toute aide ou réponse.
Bonnes mathématiques.
A bientot.
Yohann

[Anonyme]

Statik- a écrit :
> Je doute donc de pouvoir utiliser l'étude du signe de la dérivée de f pour
> détermnier les variations de f.

Si la dérivée permet de dire que le résultat est faux, tu n'arriveras
pas à le prouver juste par une autre méthode (en tout cas je l'espère).
Pourquoi insister ?

--
Nico.

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 40FE61AE.88B93D3C@yahoo.fr...
> Statik- a écrit :[color=green]
> > Je doute donc de pouvoir utiliser l'étude du signe de la dérivée de f[/color]
pour[color=green]
> > détermnier les variations de f.
>
> Si la dérivée permet de dire que le résultat est faux, tu n'arriveras
> pas à le prouver juste par une autre méthode (en tout cas je l'espère).
> Pourquoi insister ?
>[/color]
Parce que le tracé de f : x -> (cos(x)/(1+x^2)) sur [ 0, pi ] dans un repère
orthonormé du plan permet de conjecturer que f est décroissante sur [ 0 ,
pi ] donc qu'a priori l'énoncé n'est pas faux(enfin chez moi peut etre que
ma calculatrice a un sacré problème..)
Est ce possible que le tracé indique que f est décroissante et qu'elle ne le
soit pas.....? oO
Merci d'avance pour vos réponses et merci pour vos réponses précédentes.
Bonnes mathématiques
A bientot
Yohann

[Anonyme]

Statik- a écrit :
> pi ] donc qu'a priori l'énoncé n'est pas faux(enfin chez moi peut etre que
> ma calculatrice a un sacré problème..)

Relis ce que j'ai dit sur la dérivée. Clairement cela indique que ta
fonction n'est *pas* décroissante sur cet intervalle. Maintenant si tu
préfères faire confiance à ta calto, libre à toi...

> Est ce possible que le tracé indique que f est décroissante et qu'elle ne le
> soit pas.....? oO

Si le tracé est faux, oui. De plus ledit tracé est fortement applati
près du minimum, ce qui induit en erreur. Mais par exemple en 2.5 la
fonction vaut un peu moins de -0.1 alors qu'elle remonte légèrement
dessus en Pi.

> Bonnes mathématiques

Des maths? Où ça ?


--
Nico, imbibé de patience...

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 40FE6E3A.14F04EDD@yahoo.fr...
> Statik- a écrit :[color=green]
> > pi ] donc qu'a priori l'énoncé n'est pas faux(enfin chez moi peut etre[/color]
que[color=green]
> > ma calculatrice a un sacré problème..)
>
> Relis ce que j'ai dit sur la dérivée. Clairement cela indique que ta
> fonction n'est *pas* décroissante sur cet intervalle. Maintenant si tu
> préfères faire confiance à ta calto, libre à toi...
>
> > Est ce possible que le tracé indique que f est décroissante et qu'elle[/color]
ne le[color=green]
> > soit pas.....? oO
>
> Si le tracé est faux, oui. De plus ledit tracé est fortement applati
> près du minimum, ce qui induit en erreur. Mais par exemple en 2.5 la
> fonction vaut un peu moins de -0.1 alors qu'elle remonte légèrement
> dessus en Pi.[/color]

En effet.Je regarderais ca de plus près a l'avenir, merci bien.
[color=green]
> > Bonnes mathématiques
>
> Des maths? Où ça ?[/color]
Juste au-dessus
>
> --
> Nico, imbibé de patience..

Merci d'avoir été aussi patient..