[Licence 1ère année] Composées et bijections

[Anonyme]

Bonjour et oui c'est moi l'homme qui avait(et qui a toujours) du mal avec la
composition d'applications! Voila ca fait quelques heures que je sèche sur
le problème suivant :

Soient E,F,G des ensembles et f : E->F,g : F->G, h : G ->E des applications.
On suppose que h o g o f est surjective et que g o f o h et f o h o g sont
injectives

1. Montrer que h est bijective.
2. Montrer que g o f est bijective.


Je parviens a montrer que h est bijective mais je n'arrive pas a trouver de
solution pour montrer que g o f est bijective.
Toute aide,indice ou réponse sera le bienvenu
Je vous remercie d'avance
Bonnes mathématiques.
A bientot.
Yohann

[Anonyme]

"Statik-" a écrit dans le message news:
ccf6n6$irc$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Bonjour et oui c'est moi l'homme qui avait(et qui a toujours) du mal avec
la
> composition d'applications! Voila ca fait quelques heures que je sèche sur
> le problème suivant :
>
> Soient E,F,G des ensembles et f : E->F,g : F->G, h : G ->E des
applications.
> On suppose que h o g o f est surjective et que g o f o h et f o h o g sont
> injectives
>
> 1. Montrer que h est bijective.
> 2. Montrer que g o f est bijective.
>
>
> Je parviens a montrer que h est bijective mais je n'arrive pas a trouver
de
> solution pour montrer que g o f est bijective.
> Toute aide,indice ou réponse sera le bienvenu
> Je vous remercie d'avance
> Bonnes mathématiques.
> A bientot.
> Yohann
>
Bonjour et d'abord un conseil ne passe pas des heures sur ce genre
d'exercice qui fait appel à 3 ou 4 propriétés très simples,
ensuite il me semble que pour montrer ces deux questions on n'a pas besoin
de savoir que f o h o g est injective.
On note u = h o g o f et v = g o f o h. (on a souvent intérêt à nommer les
objets qui interviennent)
ensuite sachant que h est une bijection exprime g o f de deux façons
différentes ...

Bon courage
Jacky

[Anonyme]

> ensuite il me semble que pour montrer ces deux questions on n'a pas besoin
> de savoir que f o h o g est injective.
J'imagine qu'il y a une 3e question qui est "montrer que g et f sont des
bijections"
et là on utilise que f o h o g est injective....

Jacky