Variable réelle à densité

[Rockleader]

Bonjour; bonsoir.

Soit le couple (X,Y) un vecteur aléatoire réel dont la loi de probabilité est définie par la
fonction de densité suivante :
f ( u , v ) = C si ;) 1 ;) u ;) 0 , 0 ;) v ;) ;) u^2+ 1
f ( u , v ) = 2 C si 0 < u ;) 1 , 0 ;) v ;) ;) u^2 + 1
f ( u , v ) = 0 si non
1) Montrer que C = 1/2.
2) Donner la fonction de répartition de la variable X, en déduire sa densité.
3) Trouver le coefficient de corrélation.
4) Question difficile : Donner la fonction de répartition du vecteur (X,Y). Indication :
il faut considérer les cas possibles pour x (x<0 ou x>0) et pour y (01>y>-x 2 +1).





J'aurais plusieurs questions à poser ;)

La première étant que après de multiples bidouillage je ne vois pas comment retomber sur mes pattes et trouver la valeur de C; de quelle équation doit on partir ?

Par la suite si j'ai bien compris la fonction de répartition de la variable X est la primitive F(X) de la fonction f(x)
Hors je ne crois pas avoir cette fonction donnée.

Le coefficient de corrélation sera le coefficient directeur de ma droite de répartition ?

[Doraki]

Tu dois partir de P((X,Y) est dans R²) = 1.
Parceque (X,Y) est toujours dans R² et donc ça ne s'appelerait pas une loi de probabilité si ça ne valait pas 1.

Clairement, si tu changes la valeur de C, ça va changer la valeur de P((X,Y) est dans R²) (c'est même une fonction croissante de C) donc tu peux espérer qu'il y a 1 seule valeur de C telle que cette probabilité fasse 1.

[Rockleader]

Tu dois partir de P((X,Y) est dans R²) = 1.
Parceque (X,Y) est toujours dans R² et donc ça ne s'appelerait pas une loi de probabilité si ça ne valait pas 1.

Clairement, si tu changes la valeur de C, ça va changer la valeur de P((X,Y) est dans R²) (c'est même une fonction croissante de C) donc tu peux espérer qu'il y a 1 seule valeur de C telle que cette probabilité fasse 1.

Merci pour ton aide; cependant je n'ai pas encore tout saisi; je m'explique


Si je part de f(u,v)= C Pour avoir 1 on doit avoir C=1
Si je part de f(u,v)=2C Pour avoir 1 on doit avoir C=1/2

Comment suis je censé pouvoir choisir quelle est la bonne valeur pour C ?

[Doraki]

P((X,Y) est dans R²)

= (définition de densité de probabilité)

intégrale pour (u,v) dans R² de f(u,v) du dv

= (définition de f)

intégrale pour (u,v) dans R² de
(C si -1 <= u <= 0 et 0 <= v <= 1-u²;
2C si 0 <= u <= 1 et 0 <= v <= 1-u²
0 sinon) dudv

Maintenant tu calcules cette intégrale ?

[Rockleader]

Cela nous fais donc Cx dans l'intervalle -1;0 et Cx^2 dans l'intervalle 0;1 et une constante k sinon que l'on peut prendre nulle.

En calculant la somme des deux primitives on obtiens 2C = 1 par la définition donc C=1/2

C'est bien cela ?


Ma fonction de répartition je n'arrive toujours pas à l'exprimer comme il faut.

[Doraki]

C'est bien cela ?

Non. Si tu parles de la densité de X, c'est pas ça. D'ailleurs je vois pas de quel x tu parles

Vu que la question d'après demande la loi de X, tant qu'à faire on peut faire le calcul comme ça :

intégrale pour (u,v) dans R² de
(C si -1 <= u <= 0 et 0 <= v <= 1-u²;
2C si 0 <= u <= 1 et 0 <= v <= 1-u²
0 sinon) dudv

= (on intègre d'abord selon v, puis ensuite selon u ; on découpe tout comme il faut et on retire les morceaux où on intègre 0)

= intégrale pour -1 <= u <= 0 de (intégrale pour 0 <= v <= 1-u² de C dv) du
+ intégrale pour 0 <= u <= 1 de (intégrale pour 0 <= v <= 1-u² de 2C dv) du

= intégrale pour -1 <= u <= 0 de C(1-u²) du
+ intégrale pour 0 <= u <= 1 de 2C(1-u²) du

Donc là on peut déjà lire la densité de X : c'est la fonction g définie par g(u) = C(1-u²) pour -1 <= u <= 0 ; g(u) = 2C(1-u²) pour 0 <= u <= 1 ; g(u) = 0 sinon.

= (une primitive de (1-u²) est u-u^3/3)

C(0-0^3/3 - (-1) + (-1)^3/3) + 2C(1-1^3/3 - 0 + 0^3/3)

= C(2/3) + 2C(2/3) = 2C

Donc on en déduit qu'il faut avoir 2C = 1, donc C = 1/2

[Rockleader]

Je comprends le calcul-; mais pas vraiment d'où il vient.

Si je suis d'accord pour dire cela:

= intégrale pour -1 <= u <= 0 de (intégrale pour 0 <= v <= 1-u² de C dv) du
+ intégrale pour 0 <= u <= 1 de (intégrale pour 0 <= v <= 1-u² de 2C dv) du

Je ne comprends pas comment l'on en arrive à dire

= intégrale pour -1 <= u <= 0 de C(1-u²) du
+ intégrale pour 0 <= u <= 1 de 2C(1-u²) du

On nous dit bien f(u,v) = C et non f(u,v) = -u^2 +1

C'est ça qui me dérange surtout je n'arrive pas à exprimer clairement dans ma tête cette fonction.

[Doraki]

Ben j'ai juste intégré la fonction constante (v -> C) pour v dans l'intervalle [0;1-u²]

v -> C*v est une primitive de v -> C, donc l'intégrale pour v dans [0;A] de C*dv = C*A - C*0 = C*A, et ce quel que soit A >= 0.

Donc en particulier, pour tout u de [-1;1], l'intégrale pour v dans [0;1-u²] de C*dv vaut C(1-u²)

[Rockleader]

Oki merci beaucoup; j'ai mieux compris à présent.


Toutefois je bloque toujours sur la suite ;) on nous demande la fonction de répartition de la variable X mais X n'apparait pas dans les données. On a bien un vecteur (X,Y) mais on ne sait pas quelle relation il a avec f(u,v)

[Doraki]

On a bien un vecteur (X,Y) mais on ne sait pas quelle relation il a avec f(u,v)

Euuuuuuuuuuuuuuh ???

Soit le couple (X,Y) un vecteur aléatoire réel dont la loi de probabilité est définie par la
fonction de densité suivante :
f ( u , v ) = ...

[Rockleader]

Oui; on sait que f(u,v) est sa loi de probabilité; mais ça s'arrête là; si f(u,v) donne les valeur de ses probabilité on ne sait pas à quoi elles correspondent.

(Quand je dis ON; je ne veux pas dire que c'est forcement vrai, mais surtout que je ne vois pas le lien).

[Mathusalem]

Essaye d'expliquer avec tes mots ce que f(u,v) veut dire pour toi. Explique tous les symboles

[Doraki]

f(u,v) est la densité du vecteur aléatoire (X,Y), ça veut dire que pour tout sous-ensemble A de R², P((X,Y) est dans A) = intégrale pour (u,v) dans A de f(u,v)dudv. Donc la connaissance de f te donne la réponse à toutes les questions de proba que tu peux possiblement te poser à propos de X et Y (à condition que tu saches calculer des intégrales)

Dans la question 2 on te demande la loi de X, donc on te demande de calculer tous les nombres P(X <= x), pour x dans R.

Maintenant pour faire le lien entre les deux, ce serait vachement cool que tu trouves, pour chaque x de R, un sous-ensemble Ax de R² tel que P(X <= a) corresponde à P((X,Y) est dans Ax).

Donc un sous-ensemble Ax tel que pour tout (X,Y) de R², (X,Y) est dans Ax <=> X <= a.

[Rockleader]

J'ai repris tout ce que l'on a dit; et ça me parait désormais un peu plus clair, même s'il y a quelques détails que je n'ai pas forcément compris parfaitement.



Pour trouver le coefficient de corrélation; je connais la formule (en tout cas dans le cas de variables discrètes); pour ça je vais devoir calculer l'espérance; la covariance et l'écart type; en revanche, je n'arrive pas à me représenter comment je vais calculer ces valeurs.'e


L'espérance habituelle est la somme des pi . xi

Dans le cas présent; pi est donné par la fonction: Ok

Mais qu'est ce que seront les Xi sachant que l'on a des intervalles et non une valeur précise.

Merci à vous.