Valeurs propres d'une matrice

[julien741]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à trouver les valeurs propres de la matrice suivante :

(5 2 -3)
(6 2 -4)
(6 3 -5)

En fait, je ne sais pas quelles transformations appliquées pour amener les 0.

Merci!

[Sylviel]

Qu'as tu essayé de faire ? As tu calculé le polynome caractéristique ?

[julien741]

Qu'as tu essayé de faire ? As tu calculé le polynome caractéristique ?

Je dois obligatoirement faire le résultat avec des permutations. J'ai essayé d'amener des 0 pour pouvoir supprimer une ligne mais je n'y arrive pas..

[Sylviel]

Hum... désolé je ne vois pas comment trouver des valeurs propres avec des permutations...

[Ericovitchi]

il doit vouloir dire des permutations ou des combinaisons de lignes ou de colonnes pour calculer le déterminant donnant le polynôme caractéristique.

[julien741]

il doit vouloir dire des permutations ou des combinaisons de lignes ou de colonnes pour calculer le déterminant donnant le polynôme caractéristique.

En effet, c'est ça

[Archibald]

Pourquoi tu tiens à supprimer une ligne/colonne ?

Sinon, en appliquant le pivot de Gauss-Jordan :

Et tu développes suivant la première colonne.

[Archibald]

Pourquoi tu tiens à supprimer une ligne ?

Sinon, en appliquant le pivot de Gauss-Jordan :

[Skullkid]

Pourquoi tu tiens à supprimer une ligne ?

Sinon, en appliquant le pivot de Gauss-Jordan :

Bonjour, c'est faux. Tu n'es pas en train de calculer les valeurs propres de la matrice de départ A, mais celles d'une autre matrice, B (celle que tu as obtenu après tes opérations sur les lignes). B n'a aucune raison d'avoir les mêmes valeurs propres que A. Par exemple, 1 est une valeur propre de B, mais pas de A.

Si tu veux faire des opérations sur les lignes (ou les colonnes, d'ailleurs), tu dois les faire sur A - lambda*I, car à ce moment-là tu ne modifies pas les valeurs propres.

@julien471, les opérations sur les lignes sont en général peu conseillées pour calculer le polynôme caractéristique parce qu'elles tendent à compliquer les calculs : soit on est amené à diviser par diviser par des quantités de la forme (a-lambda), soit on fait apparaître du lambda où il n'y en avait pas auparavant.

Le calcul bourrin (en appliquant la règle de Sarrus ou en développant suivant n'importe quelle ligne ou colonne) du polynôme caractéristique n'est pas très compliqué ici puisqu'il s'agit d'une matrice 3*3 numérique. Une fois le polynôme de degré 3 développé, tu peux en chercher une racine "évidente" (parmi -2, -1, 0, 1 et 2) dans l'espoir de le factoriser. Il n'y à mon avis pas de méthode plus rapide pour cette matrice si tu ne connais aucune astuce (telle que la constance de la somme des coefficients sur une ligne, qui permet de voir directement que 4 est une valeur propre).

[PhiD]

Bonsoir,

Comme j'ai quelques lacunes, je désirais connaître les différentes étapes de cet exercice. J'ai bien lu la théorie, mais je reste bloqué ici :

Soit V un espace vectoriel de dimension n, n>=1, et soit u un endomorphisme de V. On suppose qu'il existe N élément de N(Entiers Naturels), N>=2, tel que u^N =0 et u^(N-1) =/ 0 (différent de 0).

1. On note Sp de u, l'ensemble des valeurs propres de u. Montrer que Sp de u = {0}
2. On considère l'endomorphisme id - u.
2.1 Quelles sont les valeurs propres de id - u.
2.2 Montrer que id - u est inversible.
2.3 Pour tout k élément de N(entier Nat.), donner un polynôme Pk(u) tel que (id-u) o Pk(u) = id - u^(k+1). En déduire une expression de l'inverse de id-u.

Je vous remercie encore.