Bonsoir,
Je suis récemment tombé sur ce problème :
Etant données deux matrices
)
telles que
=Sp(B)=Sp(AB)=\{1\})
. Est-ce que
et
sont trigonalisables dans une même base ?
Si je ne dis pas de bêtise, c'est équivalent à ce que
\cap \ker(B-I_n)\neq \{0\})
car on peut alors compléter une base de l'intersection et poursuivre par récurrence avec des écritures par blocs.
Je n'arrive pas à le prouver ni à trouver de contre-exemple ou de référence qui mentionne ce résultat (je pense tout de même qu'il est vrai).
Pour le contexte je cherchais à montrer qu'un sous-groupe
de
)
tel que
=M_n(\mathbb{C}))
et
nilpotente est nécessairement trivial (donc
). Je suis parvenu à le montrer avec des bidouilles sur les formes linéaires mais je reste curieux du résultat que je souhaitais montrer dans ma première approche.
