Valeur propre de f

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 20:29

bonsoir tout le monde, alors voila, on a eu un petit cours sur les valeurs propres, et on a vu que un complexe Y était appelé valeur propre de f si il vérifiait quelques propriétés qui sont :
f-YidE n'est pas inversible (E est un espace vectoriel de dim finie)
Ker (f-YidE) différent de OE (E en indice)
dét (f-YidE) = 0

seulement on doit le démontrer...et là je bloque completement...merci pr vos éventuelles coups de main...

bonne soirée

par **fahr451** » 30 Mai 2007, 20:32

bonsoir

on définit ou on montre?

je présume qu'on prend l'une des trois propriétés comme définition ...

on montre l 'équivalence des trois propositions en utilisant

pour g un endomorphisme en dim finie

g bijectif ssi g injectif (th du rang) ssi det g non nul

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 20:36

il faut en fait établir l'equivalence entre ces trois propriétés...et oui f est bien un endomorphisme...bien vu :p

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 20:46

ben det(f-YidE) = 0 <=> f-Yide non inversible.

Continue avec la propriété de fahr

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 20:47

f ou g ...

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 20:53

Joker62 a écrit:ben det(f-YidE) = 0 f-Yide non inversible.

Continue avec la propriété de fahr

oui ca je le pensais...faut juste que je le démontre... voyons voir avec la propriété de fahr...

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 20:58

euh... ssi = si et seulement si ???

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 21:25

Oui ssi = si et seulement si

Et pourquoi tu veux le démontrer ? tu l'as déjà fait en première année normalement.

f - YIde est bien un endormorphisme, donc inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 21:28

eh bien en fait...je suis en premiere année ...
et si je dit seulement ca je risque d'avoir un "arret de lecture" ou un "pas évident" ...

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 21:41

Soit f un endormorphisme
On suppose f inversible

Soit g son inverse : ie g = f^-1

d'où fog = gof = IdE

det g = 1/det(f)

Donc une condition nécessaire pour que g existe, et que le déterminant de f ne soit pas nul :)
Maintenant l'équivalence est clair, il suffit de remonter.

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 21:47

je n'était pas sur de pouvoir supposé que f était inversible... alors c'est formidable ! merci bcp...j'ai reussi les 2 autres

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 21:51

faut bien partir d'une hypothèse quand même lol :)
Bon courage ;)

par **JLN37** » 30 Mai 2007, 21:55

merci bonne soirée

par **fahr451** » 30 Mai 2007, 22:17

joker comment remontes-tu"clairement" de déterminant non nul à f inversible ?

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 22:19

C'est vrai que ça n'a rien de clair :D
J'ai pas envie de ressortir mes cours de première année... :(

On l'a fait comment la réciproque ??? :^)

par **fahr451** » 30 Mai 2007, 22:52

en revenant au cours de l 'année dernière (quand on aime on ne compte pas)

l'ensemble des formes n linéaires alternées sur E (dim E = n) est une droite

engendrée par det e où e est une base

h :(x1,...xn) -> det e ( f(x1) ,...,f(xn) ) étant n linéaire alternée vérifie

h = a det e on vérifie que a ne dépend pas du choix de la base e on pose

a = det f = det e (f(e1) ,...,f(en))

or il est clair que si (f(e1) ,...,f(en)) est liée son déterminant est nul car
det e est alternée.

donc si det f non nul alors e' =( f(e1) ,...,f(en) ) est libre et est donc une base

f envoie une base sur une base
l'application linéaire g qui envoie la base e' sur e est alors clairement l'inverse de f

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 23:13

J'pense pas l'avoir vu comme ça :^)

J'irais voir après lol, quand ma curiosité ne tiendra plus :D

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