Valeur propre endomorphisme

[george154]

Soit f ∈ L(E) avec E un R espace vectoriel de dimension n. On
suppose que f est nilpotent d’ordre p ≥ 2 : f^(p−1) différent de 0 et f^p = 0

Pour montrer que 0 est la seule valeur propre, je dois procéder comment ? Je sais faire pour les matrices mais concernant les endomorphismes j'ai un peu plus de mal.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Quelle différence vois-tu entre les deux cas ?

[george154]

Pour les matrices cela revient a résoudre le déterminant de la matrice moins Xid. Mais pour une application f je ne comprends pas comment je suis censé procéder. Je dois faire déterminant de u moins XidE mais je ne vois pas par quoi remplacer Id et u dans ce cas la.

[GaBuZoMeu]

Comment ferais-tu avec une matrice nilpotente d'ordre p ?

[george154]

Je penses que j'essayerais de faire comme pour une mateice normal c'est à dire calculer le determinant de la matrice - XId et trouver les valeurs pour lesquels le polynôme caractéristique s'annule

[GaBuZoMeu]

Là, tout ce que tu sais, c'est que la matrice est nilpotente.
Le problème n'est pas matrice ou endomorphisme. Le problème ici est qu'il faut raisonner, pas calculer.

[george154]

La matrice est nilpotente donc il existe un n tel que A^n = 0 mais comment je peut déterminer une valeur propre à partir de cette indication ?

[GaBuZoMeu]

Suppose que r est valeur propre de A. Qu'est ce que cela veut dire (quelle est la définition de "valeur propre") ? Utilise cette définition et l'hypothèse A^p=0 pour montrer que . r=0

[george154]

S’il existe un vecteur non nul x de E tel que f(x) = λx alors λ est une valeur propre de u. On a f^n=0 car f est nilpotent d'ordre q>=2 donc la seule valeur possible qui correspond à cette équation est que f=0 car n>=2. Ce qui voudrait dire que 0 est la seule valeur propre. C'est bien ca ?

[GaBuZoMeu]

Tu as peut-être compris, mais la rédaction ne va pas du tout.