Valeur d'adherence.
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barbu23
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par barbu23 » 11 Nov 2010, 16:24
Bonjour à tous :
========================================================================Definition :Soient
un espace topologique et
_{ n \geq 0} $)
une suite ans
.
Soit
.
Alors :
est dite valeur d'adherence de
si et seulement si :
 \ \ \forall N \in \mathbb{N} \ \ \exists n > N $)
:
========================================================================Je voudrais à partir de cette definition, demontrer l'quivalence des deux assertions suivantes :
-
est une valeur d'adherence de
- il esiste une suite extraite de
convergente vers
Merci d'avance. :happy3:
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AlexisD
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par AlexisD » 11 Nov 2010, 16:36
Salut,
Tu peux peut-être essayer de démontrer ceci en utilisant comme définition d'une suite extraite de
)
toute suite du type
}))
où
est une fonction de |N dans |N strictement croissante (et donc telle que
 \geq n)
)
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barbu23
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par barbu23 » 11 Nov 2010, 16:53
AlexisD a écrit:Salut,
Tu peux peut-être essayer de démontrer ceci en utilisant comme définition d'une suite extraite de
toute suite du type
où
est une fonction de |N dans |N strictement croissante (et donc telle que
)
D'accord, merci. :happy3:
Alors :
Soit
une valeur d'adherence de
_{n \geq 0} $)
Soit
 $)
:
Alors :
:
Soit
:
Alors
tel que :
On pose
 $)
On obtient :
 \in \mathbb{N} $)
tel que :
} \in V $)
une valeur d'adherence de
Alors
 + 1 $)
tel que :
On pose
 $)
On obtient :
 \in \mathbb{N} $)
tel que :
} \in V $)
et
 > \varphi(1) $)
Supposons contruit
 } )_{k = 1,...,n} \in V $)
tel que
 > ... > \varphi (2) > \varphi (1) $)
une valeur d'adherence de
Alors
 + 1 $)
tel que :
On pose
 $)
On obtient :
 \in \mathbb{N} $)
tel que :
} \in V $)
et
 > \varphi(n) $)
On construit ainsi, une suite extraite
})_{ n \geq 0} $)
de
tel que
est croissante.
Comment montrer maintenant que
} \longrightarrow x $)
quant
tend vers
?
Merci d'avance. :happy3:
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Ben314
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par Ben314 » 11 Nov 2010, 16:58
Salut,
Ca risque de pas être super facile de démontrer un résultat... faux.
Pour avoir équivalence entre les deux notions, il faut supposer que tout point de l'espace topologique E admet un système fondamental dénombrable de voisinages (et, dans ce cas, la preuve de l'équivalence est assez triviale).
Par exemple le résultat est vrai pour tout espace métrique.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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barbu23
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par barbu23 » 11 Nov 2010, 17:09
Oui, désolé, je suis dans un espace metrique au lieu d'un espace topologique quelconque.
L'espace metrique
est tel que tout point
admet un système fondamental denombrable de voisinages :
:
)_{n \geq 1} $)
est une base de voisinages denombrbales de
Ensuite :
Soit
, alors comment montrer que il existe
tel que
:
 } \in V $)
Je bien l'astuce maintenant :
est croissante donc
:
 \geq n $)
.
Soit
alors
tel que
:
:
 \subset B(x, \epsilon ) $)
donc
quant
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barbu23
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par barbu23 » 11 Nov 2010, 20:18
un peu d'aide svp :happy3:
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