Valeur d'adhérence

par **klevia** » 06 Oct 2007, 10:45

Bonjour, j'ai besoin de vos lumières pour l'exercice suivant:

Soit (Un) une suite définie par : U0>0 et pour tout n, Un+1= 3/(1+2Un²)

J'ai montré que cette suite divergeait si U0 est différent de 1 mais le souci c'est qu'on me demande ses valeurs d'adhérences ... Et la j'ai rien trouvé du tout...
le niveau de l'exo est un TP de prépa agreg interne (mais je suis très loin du niveau démandé :hum: ...)

Merci de votre aide

par **fahr451** » 06 Oct 2007, 10:51

bonjour peux tu donner tousles résultats obtenus?

par **fahr451** » 06 Oct 2007, 10:55

voila ce que je vois

u(n+1) = f(u(n))
f décroit sur R+ stable

la suite est bornée

les sous suites u(2n) u(2n+1) sont mnotones bornées et convergent donc vers des points fixes de g = f°f

regarde de façon précise lesquels ce sont tes deux valeurs d'adhérence de u

par **klevia** » 06 Oct 2007, 10:58

Recherche d'un point sur IR+*: un seul point fixe x0 = 1.
Calcul de la dérivé de f: f'(x)= -12x/(1 + 2x²)²
d'où |f'(1)| = 12/9 > 1
d'où 1 est un point répulsif <+> Un converge ssi il existe n/ Un=1.
Or f strictement décroissante donc bijective d'où Un converge <=> U0=1.

Sinon je sais aussi qu'il y aura 2 valeurs d'adhérence qui sont les limites de U(2n) et U(2n+1)

Voila comment trouver ces limites reste un grand mystère pour moi ...

Merci de votre aide

par **fahr451** » 06 Oct 2007, 11:00

v(n) = u(2n)

v(n+1) = u(2n+2) = f°f(u(2n))=g(v(n))
les limites éventuelles finies de v sont points fixes de g

par **klevia** » 06 Oct 2007, 11:00

Quelle excellente idée cette fonction g=f°f ...
J'essaie de suite ... Merci

(J'suis foutue, l'écrit c'est en janvier je serais jamais prête ...)

par **fahr451** » 06 Oct 2007, 11:03

klevia a écrit:(J'suis foutue, l'écrit c'est en janvier je serais jamais prête ...)

ce forum te fera gagner beaucoup de temps n'hésite pas à t'en servir

bonne préparation à toi

par **klevia** » 06 Oct 2007, 11:05

merci de tes encouragements

par **SimonB** » 06 Oct 2007, 12:11

klevia a écrit:Quelle excellente idée cette fonction g=f°f ...

C'est général quand on a une suite donnée par récurrence par une fonction décroissante (f°f étant alors croissante, si la suite est monotone, les deux sous suites u_2n et u_2n+1 sont directement convergentes).

par **fahr451** » 06 Oct 2007, 12:30

SimonB a écrit:C'est général quand on a une suite donnée par récurrence par une fonction décroissante (f°f étant alors croissante, si la suite est monotone, les deux sous suites u_2n et u_2n+1 sont directement convergentes).

heu c'est un peu plus compliqué que ça

la notion clé est intervalle STABLE
si pas d'intervalle stable ...

par **SimonB** » 06 Oct 2007, 12:54

fahr451 a écrit:la notion clé est intervalle STABLE
si pas d'intervalle stable ...

Oui, suis-je bête, j'oubliais tout.

par **yos** » 06 Oct 2007, 13:47

SimonB a écrit:C'est général quand on a une suite donnée par récurrence par une fonction décroissante (f°f étant alors croissante, si la suite est monotone, les deux sous suites u_2n et u_2n+1 sont directement convergentes).

f décroissante et u monotone c'est rare.

par **SimonB** » 06 Oct 2007, 15:26

yos a écrit:f décroissante et u monotone c'est rare.

J'voulais dire bornée. Mais enfin, je vais dormir :ptdr:

Valeur d'adhérence

valeur d'adhérence

ce que j'ai utilisé ...

géniale ...

Qui est en ligne