Unique solution d'un système

[Rockleader]

Bonjour, j'aimerais savoir dans quels cas peut on dire qu'un système ne possède qu'une seule solution.

Ceci afin de répondre à cette question.

Je dois trouver les valeurs de m pour lesquels le système suivant n'admet qu'une unique solution.

x-my+m²z=2m
mx-m²y+mz=2m
mx+y-m²z=1-m


Il me semble qu'il faut que le système soit "linéaire" = "indépendant" ? = "libre" ?

Auquel cas la seule solution est (0;0;0) mais vu que l'on ne demande pas de calculer la solution je doute que j'ai la bonne condition de départ^^

Si quelqun une idée, merci !

[XENSECP]

Quand le système est de Cramer, soit le déterminant non nul.

[Rockleader]

Quand le système est de Cramer, soit le déterminant non nul.

Système de cramer ? Je crois que l'on a évoqué ça en physique, mais je suis pas sur d'avoir bien comprit.



Pour ce qui est du déterminant : ok. Par contre je ne suis pas persuadé que je représente bien mes systèmes sous forme matricielle.

Dans mon cas ce serait bien ?

1 -m m²
m -m² m
m 1 -m²

Avec une parenthèse tout autour. Mais que fait on de ce que j'ai dans le second membre de l'équation ? Je le rentre dans la même matrice où bien je dois faire une matrice colonne à coté ?


Parce que je sais calculer le déterminant d'une matrice; mais je ne pense pas qu'une matrice ne comporte une équation. Auquel cas j'aurais 2 matrices, et donc deux déterminant non ?


Je m'embrouille un peu là :marteau:

[chan79]

Système de cramer ? Je crois que l'on a évoqué ça en physique, mais je suis pas sur d'avoir bien comprit.



Pour ce qui est du déterminant : ok. Par contre je ne suis pas persuadé que je représente bien mes systèmes sous forme matricielle.

Dans mon cas ce serait bien ?

1 -m m²
m -m² m
m 1 -m²

Avec une parenthèse tout autour. Mais que fait on de ce que j'ai dans le second membre de l'équation ? Je le rentre dans la même matrice où bien je dois faire une matrice colonne à coté ?


Parce que je sais calculer le déterminant d'une matrice; mais je ne pense pas qu'une matrice ne comporte une équation. Auquel cas j'aurais 2 matrices, et donc deux déterminant non ?


Je m'embrouille un peu là :marteau:

Salut
Calcule le déterminant
1 -m m²
m -m² m
m 1 -m²
Ecris qu'il est nul et résouds l'équation

[Rockleader]

Ne devrais je pas plutot trouver un déterminant non nul par rapport à ce qui a été dit plus haut ?

déterminant non nuls = une seule solution au système.




Autre chose, A partir d'une équation d'un plan P : x+2y+3z = 0

Comment trouver une paramétrisation ?

On en déduit de l'équation un vecteur directeur (1;2;3). Mais il m'en faut un second il me semble ?


Idem avec un système de droite; est ce bien cela qu'il faut faire pour trouver une paramétrisation ?


3x+y-z = 2
x+y = 0

<=> x + y = 0
3x+y-z = 2 ==> L2-->L2-3L1

<=> x+y = 0
-2y +3z = 2

On pose z = ß

<=> -y = x
-2y = 2 -3ß
y = -1 +3/2ß


DOnc la paramétrisation est bien

z= ß; x = 1-3/2ß; y = -1+3/2ß ?????

[chan79]

calcule déjà le déterminant en fonction de m
ensuite, tu verras facilement ce qu'il en est

[chan79]

Autre chose, A partir d'une équation d'un plan P : x+2y+3z = 0

Comment trouver une paramétrisation ?

x+2y+3z=0

x=0-2y-3z
y=0+1y+0z
z=0+0y+1z
le plan contient (0,0,0) et est dirigé par les vecteurs (-2,1,0) et (-3,0,1)

[Black Jack]

Vaudrait mieux un seul sujet par topic.

On peut aussi raisonner en travaillant le système.

Par exemple ainsi :

x-my+m²z=2m
mx-m²y+mz=2m
mx+y-m²z=1-m


x = 2m + my - m²z

m(2m + my - m²z)-m²y+mz=2m
m(2m + my - m²z)+y-m²z=1-m

2m² + m²y - m³z - m²y + mz = 2m
2m² + m²y - m³z + y - m²z = 1-m

2m² - m³z + mz = 2m
2m² + m²y - m³z +y - m²z = 1-m

Si m = 0
y = 1 ; z indéterminé ---> solutions multiples

Et donc, il faut m différent de 0 :

2m - m²z + z = 2
2m² + m²y - m³z +y - m²z = 1-m

z(1-m²) = 2(1-m)

Si m = 1 ; z = indéterminé ---> solutions multiples

Et donc, il faut m différent de 1.

z(1+m) = 2
2m² + m²y - m³z +y - m²z = 1-m

m doit être différent de -1, sinon z(1+m) = 2 est impossible.

z = 2/(1+m)
2m² + m²y - m³.2/(1+m) +y - m².2/(1+m) = 1-m

On a donc : 2m² + m²y - m³.2/(1+m) +y - m².2/(1+m) = 1-m
avec m diffrent de 0, -1 et 1

2m²(1+m) + m²y(1+m) - 2m³ + y(1+m) - 2m²= 1-m²

2m² + 2m³ + y(m²+m³+m+1) - 2m³ - m² - 1 = 0
m² + y(m²+m³+m+1) - 1 = 0

y.(m²+m³+m+1) = 1-m²

y.(m+1)(m²+1) = (1-m)(1+m)
Et comme m est diff de -1 --->

y = (1-m)/(m²+1)

x = 2m + m.(1-m)/(m²+1) -2 m²(1+m)


Pour chaque m différent de -1 ; 0 et 1, le système a un triplet unique de solutions.

Ces solutions sont:
y = (1-m)/(m²+1)
z = 2/(1+m)
x = 2m + m.(1-m)/(m²+1) -2 m²(1+m) (dont on peut évidemment simplifier l'écriture)


A vérifier, bien entendu, ou bien à confronter aux résultats trouvés par une autre méthode.

:zen:

[chan79]

Ces solutions sont:
y = (1-m)/(m²+1)
z = 2/(1+m)
x = 2m + m.(1-m)/(m²+1) -2 m²(1+m) [/COLOR] (dont on peut évidemment simplifier l'écriture)


A vérifier, bien entendu, ou bien à confronter aux résultats trouvés par une autre méthode.

:zen:

salut
je confirme
x peut se mettre sous la forme
sinon, le déterminant est

[Rockleader]

Merci pour votre aide; j'ai réussi à comprendre ces notions, je crois^^

Reste plus qu'à attendre le test la semaine prochaine ;)