Une histoire de rang

[egan]

Salut tout le monde,

Je bloque sur ce petit exo.

Soit A une matrice symétrique définie positive de taille n et C une matrice carré de taille n non inversible.
On définit par blocs la matrice M = A C' où C' désigne la transposé de C.
.................................................C 0

Alors le rang de M est n+rg(C).

Vous avez une idée de comment attaquer le problème ?

@+ Boris.

[Maxmau]

Salut tout le monde,

Je bloque sur ce petit exo.

Soit A une matrice symétrique définie positive de taille n et C une matrice carré de taille n non inversible.
On définit par blocs la matrice M = A C' où C' désigne la transposé de C.
.................................................C 0

Alors le rang de M est n+rg(C).

Vous avez une idée de comment attaquer le problème ?

@+ Boris.

bj
A est de rang n
les n premières lignes de M sont donc indépendantes....

[egan]

Je suis d'accord avec ça mais ça ne permet pas de conclure non ? Il faut aussi prendre en compte l'indépendance des n dernières lignes avec les n premières.

[Maxmau]

Je suis d'accord avec ça mais ça ne permet pas de conclure non ? Il faut aussi prendre en compte l'indépendance des n dernières lignes avec les n premières.

effectivement!
idée:
cherche les vecteurs colonnes V de kerM
X la colonne des n premières coordonnées de V
Y la colonne des n dernières coordonnées de V
Montre que les vecteurs V de kerM sont ceux tq: X=0 et Y ds kerC'
(tu dois utiliser la multiplication par blocs et le fait que A est def positive)

[egan]

J'avais pensé à faire un truc comme ça mais j'ai été rapidement bloqué.

En gros, il faut résoudre le problème suivante:

AX+C'Y=0
CY=0

Ce qui est équivalent à:

Y est dans Ker C
X = - A^-1C'Y

Il y a donc n-rg(C) dimensions pour Y.
A^-1C' est de rang rg(C) car A^-1 ne change pas le rang de C' qui est rg(C).
Je ne vois pas trop comment déterminer la dimension de l'image de Ker C par A^-1Y.

[Maxmau]

J'avais pensé à faire un truc comme ça mais j'ai été rapidement bloqué.

En gros, il faut résoudre le problème suivante:

AX+C'Y=0
CY=0

Ce qui est équivalent à:

Y est dans Ker C
X = - A^-1C'Y

Il y a donc n-rg(C) dimensions pour Y.
A^-1C' est de rang rg(C) car A^-1 ne change pas le rang de C' qui est rg(C).
Je ne vois pas trop comment déterminer la dimension de l'image de Ker C par A^-1Y.

La deuxieme equation est. CX = 0
Multiplie la premiere a gauche par X' puis utilise: CX = 0

[wserdx]

Je te propose de combiner les résultats suivants (et de les redémontrer au besoin):
1-Si A est inversible, alors pour toute matrice B de même taille que A on a
rang(B)=rang(AB)=rang(BA)
2-Si A est symétrique définie positive, alors il existe Q inversible telle que
A=transpose(Q)*Q
3-Pour toute matrice carré B on a
rang(B)=rang(transpose(B))=rang(transpose(B)*B)
4-Si M est diagonale par bloc alors
rang(M) = somme des rangs des blocs de M

Dans l'exercice on pose
M= matrice par bloc:
A transpose(C)
C 0

P= matrice par bloc:
I -A^-1*transpose(C)
0 I

Montre que P est inversible
Que vaut transpose(P)*M*P ?
Conclusion?

[egan]

La deuxieme equation est. CX = 0
Multiplie la premiere a gauche par X' puis utilise: CX = 0

Désolé pour l'erreur. J'ai réussi à conclure, c'est bon. ^^

On a:

AX + C'Y = 0
CX = 0

On multiplie la première ligne par X' et on transpose:

X'AX + Y'CX = 0

Donc:

X'AX = 0

D'où:

X = 0

Donc Y est dans Ker C'.

La réciproque est évidente.

On termine avec le théorème du rang.

[egan]

Je te propose de combiner les résultats suivants (et de les redémontrer au besoin):
1-Si A est inversible, alors pour toute matrice B de même taille que A on a
rang(B)=rang(AB)=rang(BA)
2-Si A est symétrique définie positive, alors il existe Q inversible telle que
A=transpose(Q)*Q
3-Pour toute matrice carré B on a
rang(B)=rang(transpose(B))=rang(transpose(B)*B)
4-Si M est diagonale par bloc alors
rang(M) = somme des rangs des blocs de M

Dans l'exercice on pose
M= matrice par bloc:
A transpose(C)
C 0

P= matrice par bloc:
I -A^-1*transpose(C)
0 I

Montre que P est inversible
Que vaut transpose(P)*M*P ?
Conclusion?

Merci pour ta proposition.
Est-ce que tu peux me rappeler comment on fait pour montrer que le rang de B'B est le même que celui de B ?

[wserdx]

Il en est question dans cette discussion:
algèbre linéaire