Une histoire de rang

[p00lpe]

Bonjour à tous,

Je bloque sur une démonstration ou l'on doit montrer le rang d'une famille de vecteurs dont voici l'énoncé :

On considère trois familles de 3 vecteurs : , et .
Chaque famille est linéairement indépendante, et tous les vecteurs appartiennent à . (q = 2^8)

Le but est de montrer que :

si rang , rang et rang alors :
rang .

Je me suis dit que pour cela, il suffit de démontrer que si je prends n'importe quel famille de 5 vecteurs parmi la famille , alors cette famille sera de rang 4.

Il y a 3 manières de prendre ces 5 vecteurs :

i : 3 dans une famille et 2 dans une autre famille.
Ce cas est trivial puisque le rang vaut alors 4 par hypothèse.

ii : le cas 2, 2, 1

iii : le cas 3, 1 ,1


Pour ces deux cas la, je suis parti comme ceci :

(puisque la famille est de rang 4)





En additionnant les deux premières équations, puis en substituant avec la 3 ème, on obtient :



Et je me retrouve donc dans le cas (iii) : 3 dans Y, 1 dans X, 1 dans Z.
D'ici on peut facilement retomber sur le cas 2,2,1 en remplaçant par une combinaison linéaire de .

En revanche je bloque sur le cas ou , auquel cas je ne peux plus exprimer comme combinaison linéaire des .

Si je reviens aux équations de départ, si alors , mais je ne vois pas quoi en faire

Est-ce que je suis parti dans la bonne direction ou ai-je fait fausse route ??

Merci d'avance pour votre aide !