Une équation ...

[sue]

Salut tout le monde !

j'ai eu dans un concours cette question :

résoudre dans l'équation suivante :

avec n un entier naturel non nul .

bon moi j'ai considéré l'application : F : N² ---- N
************************** (x,y) ---- [(x+y)(x+y+1)}]/2 + x

et j'ai essayé de montrer sa bijectivité pour calculer la réciproque (je ne suis pas arrivée cet étape )
je crois qu'il y a beaucoup plus simple !

une idée ?

merci !

[Blueberry]

Bonsoir,

En changeant de variable X = x+y et en résolvant l'équation du 2nd degré en X obtenue, j'ai trouvé que la solution est :

x =n - k(k+1)/2

y =k(k+3)/2 - n

avec k = Ent[ (-1+rc(1+8n))/2] (Ent désigne la partie entière)

Ce n'est pas très satisfaisant mais j'ai pas trouvé mieux.

[fahr451]

bonsoir

c'est simplement la façon "naturelle" de compter les couples d 'entiers positifs


"par diagonale " ( en partant de l'axe des abscisses)
sur la diagonale n°0 il y a (0,0) = 0 ième couple
sur la diagonale n°1 il y a (1,0) = 1iercouple et (0,1) = 2ieme

etc

le couple (x,y) est sur la diagonale n° x+y
avant on a compté tous les couples des diagonales précédentes
il y en a 1 + 2+ 3 + (x+y)

car sur la diagonale n° x+y-1 il a x+y couples

donc il y a (x+y) (x+y+1)/2 couples sur les diagonales précédentes
et le couple (x,y) est le x+1 ième sur la diagonale n° x+y il porte donc le numéro

(x+y)(x+y+1)/2 + x (le 1ier couple (0,0) portant le numéro 0)

d'où bien une bijection de N^2 sur N

[fahr451]

bien sûr on peut répondre à l'exercice sans avoir vu cela

on pose pour s entier naturel u(s) = s(s+1)/2 u est une suite strictement croissante d'entiers naturels donc pour n entier naturel il existe un unique s tel que

u(s) = < n < u(s+1)

puis 0 = < n -u(s) < u(s+1) - u(s) = s+1

x et y sont solution unique du système
x+y = s et n - u(s) = x

[Blueberry]

Merci, là ça a un sens.

[sue]

n pose pour s entier naturel u(s) = s(s+1)/2 u est une suite strictement croissante d'entiers naturels donc pour n entier naturel il existe un unique s tel que

u(s) = < n < u(s+1)

puis 0 = < n -u(s) < u(s+1) - u(s) = s+1

x et y sont solution unique du système
x+y = s et n - u(s) = x

ok , c'est ce que j'ai fait , j'ai cru qu'il fallait doner une solution plus explicite!

merci !

Bonne soirée