Détermination d'une base à partir d'une équation cartésienne

[chan79]

Salut
soit le vecteur cherché w=(x,y,1)
Ecris que le produit mixte de (u,v,w) et celui de (s,t,w) sont nuls.
Tu auras un système de deux équations à deux inconnues x et y.
Tu dois trouver que (1,-5,4) dirige la droite.

[Ben314]

Salut,
A mon avis, la méthode proposée par chan, bien qu'extrêmement rapide et efficace, n'est pas celle attendu par "le prof" qui aimerais que tu te "salisse les mains" à grand coups de vect{...} et d'équations...

Si tu as réussi à trouver les équations des deux plans, ça veut dire que tu as compris comment on passe d'un "vect{...}" à des équation.

Il te manque le passage "dans l'autre sens" qui est... encore plus simple :
Vu que les équation du s.e.v. dont tu cherche une base sont 8z-2x=0 (la division par 5 ne sert à rien), ça signifie que l'on peut prendre y totalement au pif, puis prendre x ou z au pif et en déduire l'autre.
Par exemple, y'a qu'à dire que c'est z qu'on prend au pif (dit de façon savante, on dit que c'est une "inconnue principale" il me semble...) puis qu'on prend obligatoirement x=4z.
Ca signifie que les vecteurs qui sont dans ton s.e.v., c'est trés exactement ceux de la forme (4z,y,z) où on peut prendre y et z totalement quelconque.
Or (4z,y,z) = z.(4,0,1)+y.(0,1,0)
Donc une base de ton s.e.v. c'est les deux vecteurs (4,0,1) et (0,1,0) (il est clair qu'ils sont libres)

P.S. J'ai pas vérifié les calculs qui t'on ammené à ton 8z-2x=0...

Edit : j'ai vérifié... c'est faux...

[Robic]

Une petite remarque...

Ici on voit immédiatement (en regardant les coordonnées) que u et v ne sont pas colinéaires, et que s et t ne sont pas colinéaires. Donc Vect(u,v) et Vect(s,t) sont des plans. Si tu obtiens 8z-2x=0, ça veut dire que l'intersection des deux plans a donné un plan. Ce cas de figure n'est possible que si les deux plans sont confondus, et alors le plan obtenu est l'un ou l'autre des deux plans de départ. Donc si ton équation était juste, tu pourrais choisir comme base (u,v), ou bien (s,t) - pas besoin de calcul.

Ici, ni u ni v ne vérifient x = 4z, donc manifestement il y a eu une erreur. C'est toujours utile de se poser ce genre de question pour vérifier la vraisemblance d'un résultat.

(En fait, je pense qu'on doit avoir en tête le résultat attendu avant de commencer les calculs : on cherche l'intersection de deux plans, donc ce sera une droite. Sauf si les plans étaient parallèles ou confondus, mais on s'en serait rendu compte en regardant leur équation (il faut alors s'en rendre compte).
- Si les équations des deux plans sont proportionnelles, ils sont confondus. Pas besoin de faire de calcul pour trouver leur intersection.
- Si leur partie linéaire est proportionnelle (mais pas la constante), ils sont parallèles. Pas besoin de faire de calcul pour trouver leur intersection.
- Sinon, on sait maintenant que ce sera une droite. Donc à la fin des calculs, on doit obtenir deux équations indépendantes. Si ce n'est pas le cas, on s'est trompé quelque part.)

[Ben314]

Trés bonne remarque de Robic, modulo le fait que dans le contexte des sous espaces vectoriel, c'est encore plus simple vu qu'il n'y a pas de notion de parallélisme : tout les s.e.v. doivent passer par le vecteur nul.

[Robic]

Ah mais oui, il n'y a que deux cas : les plans sont sécants (intersection = 1 droite) ou confondus (intersection = l'un ou l'autre, c'est pareil). Je suis vraiment distrait en ce moment...