Trinômes du second degré

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Je vous propose un nouvel exercice (niveau sup) :

Montrer que la plupart des trinômes du second degré à coefficients entiers sont irreductibles

Pour info, la succession d'exercice proposés sont inventés (ou remasterisés pour ce dernier) pour une khôlle de combinatoire-dénombrement que je donnerai prochainement à des sup d'un bon niveau, je demande donc votre avis sur ces exos, voir s'ils ne sont ni trop difficiles, ni trop faciles :lol3: .

Concernant cet exercice, j'hésite un peu à le laisser sous cette forme, d'un côté je voudrai inciter l'élève à traduire correctement l'énoncé, de l'autre ce n'est pas vraiment l'objectif principal de la khôlle... Qu'en pensez-vous?

:happy3:

[abcd22]

Bonsoir,
À mon avis il faut déjà préciser sur quel corps on se place, je suppose que ce n'est pas C, donc Q ou R ? Coefficients entiers c'est naturels ou relatifs ? « la plupart » qu'est-ce que ça veut dire ? Le minimum serait de traduire « la plupart » en langage mathématique, car là je ne vois vraiment pas ce que tu peux bien vouloir dire et ça m'étonnerait que les sup comprennent mieux...

[mathelot]

bonsoir,

des polynômes de la forme avec (a,b,c) , il y en a autant (une infinité dénombrable)
que de polynômes de la forme

ceçi écrit, l'exercice "naturel" est de calculer la probabilité de
l'évènement quand a,b,c sont tirés indépendemment et uniformément dans l'intervalle [-N;N] ?

[Doraki]

si les coefficients 1 et 3 sont fixés il n'y a alors qu'un nombre fini de moyens de choisir celui du milieu pour donné un polynôme pouvant se factoriser (dans Z[X]).

Pour ce point de vue là on peut "dire" qu'il y a infiniment plus de polynômes irréductibles que de polynômes factorisables.

[abcd22]

si les coefficients 1 et 3 sont fixés il n'y a alors qu'un nombre fini de moyens de choisir celui du milieu pour donné un polynôme pouvant se factoriser (dans Z[X]).

... sauf si les coefficients 1 et 3 ne sont pas premiers entre eux (ce qui fait quand même pas mal de couples d'entiers). Le problème de parler d'irréductibilité dans Z[X], c'est que pour un trinôme de Z[X], être irréductible dans Z[X] n'est pas équivalent à ne pas avoir de racine dans Z (contrairement à ce qui se passe quand on est sur un corps), par exemple 2X² + 2 = 2(X² + 1) n'est pas irréductible dans Z[X], 4X² - 4X + 1 = (2X - 1)² non plus...
Plus précisément, les polynômes irréductibles de Z[X] sont :
- les polynômes constants p avec p premier;
- les polynômes de degré > 0 tels que le PGCD de leurs coefficients soit égal à 1 et qui sont irréductibles dans Q[X].
Ce qui implique que tous les trinômes aX² + bX + c tels que PGCD(a, b, c) différent de 1 ne sont pas irréductibles dans Z[X].

[fourize]

salut !

bonsoir,
ceçi écrit, l'exercice "naturel" est de calculer la probabilité de
l'évènement quand a,b,c sont tirés indépendemment et uniformément dans l'intervalle [-N;N] ?

avant même de lire tout les postes, j'avais commencé à me lancer dans les probabilité pour traduite le mot "plupart" de l'énoncé . je pense qu'il veut dire une grande probabilité. c'est à dire k/n des trinômes sont irréductibles avec k proche de n.
ceci étant dit: j'ai fini par lire tout les postes parce que je ne trouvais pas comment calculer la probabilité de a,b,c indépendamment . :ptdr: 1 sur infini ???

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

En fait, j'attends de l'élève qu'il calcule la limite pour n -> oo de card[(a,b,c) entiers relatifs dans [-n,n] tels que ax²+bx+c soit irreductible] sur (2n+1)^3 qui vaut alors 0.

Il est vrai qu' énoncé comme je l'ai fait au début ce n'est pas très clair. Je vais donc proposer l'exercice en donnant ce qu'il faut calculer.

[mathelot]

ax²+bx+c soit irreductible

sur K[X] pour quel corps K ? (je me renseigne juste :we: )

[Nightmare]

R bien sûr, sinon ce n'est pas très intéressant :lol3:

[Nightmare]

Je disais peu intéressant dans le cas où on prenait K=C bien sûr, le cas K=Z était lui même aussi très intéressant mais il me semble beaucoup plus compliqué !

Une idée de solution dans R[X] ?

[busard_des_roseaux]

Concernant cet exercice, j'hésite un peu à le laisser sous cette forme, d'un côté je voudrai inciter l'élève à traduire correctement l'énoncé, de l'autre ce n'est pas vraiment l'objectif principal de la khôlle... Qu'en pensez-vous?

Salut NightMare !

Personnellement, je n'aime pas trop que "l'ouverture" du problème
se traduise par un flou (artistique ?) au niveau de l'énoncé.

Pour un élève de sup, soit on lui pose des exercices formalisés
et il doit se démm... pour utiliser les outils du cours (on vérifie que le cours est sû)

soit on ouvre l'énoncé, mais en élevant brutalement le niveau:
exemple:
soit f 1-périodique telle
f(x)=2x sur
f(x)=2(1-x) sur

étudier
et puis après, boum :marteau: :
donnez un exemple de fonction continue sur nulle part dérivable...

[Nightmare]

Salut busard_des_roseaux !

Pour tout te dire, je n'aime pas ça non plus. Seulement la khôlle porte sur la combinatoire et le dénombrement et le prof a bien insisté pour que les élèves réfléchissent à la traduction d'énoncé. Cela dit j'ai tranché la poire en deux, j'ai préparé deux exos à énoncés bidons et deux exos formels.

[busard_des_roseaux]

Pour la traduction,

je me demande si le prof veut pas dire de traduire un énoncé
du style:

"Il y a dix couples mari-femme invités à un diner et on doit indiquer
le nombre de façon de placer les invités autour d'une table ronde
de manière que chacun ait deux voisins de sexe opposé sans que mari et femme ne soient jamais placés à côté l'un de l'autre"

et ils doivent modéliser puis traduire l'énoncé en termes d'injections, surjections,combinaisons,...

[Nightmare]

Peut être que tu as raison, je lui ai envoyé un mail proposant les 4 exercices de toute façon je vais bien voir ce qu'il en pense !

Quoi qu'il en soit, concernant l'exercice de ce topic, je vais le laisser sous cette forme car il peut aussi être intéressant de voir comment les élèves vont traduire "la plupart". Après tout s'ils font une démo probabilistique avec un bon résultat, ça compte aussi !

[busard_des_roseaux]

de mes souvenirs de sup, très très lointains, je me souviens que ça allait
très vite (par exemple, en deux mois, suites de fonctions, séries de fonctions,
convergence uniforme..) , on arrivait juste à assimiler un peu les concepts,
disons 50%, 60% des idées du cours, pas plus, et que les kholles étaient le plus souvent des exercices d'application très précis, style "calculer un déterminant de Vandermonde" une fois que les déterminants avaient été introduits
comme des formes n-linéaires alternées.

parce qu'en sup, ils n'ont pas encore trop vû de choses. Est ce qu'ils vont penser à de la topologie, des probas, de la théorie des ensembles, de la mesure, si on leur dit "la plupart des objets ont telle ou telle propriété.." ?


ps; concernant les files d'attente de la poste, j'avais rien compris du tout :zen:

[Nightmare]

La khôlle est donné dans un très bon lycée parisien, d'où les exercices un peu difficiles et les énoncés moins terre à terre.

Cela dit il est vrai que je ne suis pas doué en création d'énoncés farfelus ! Pour la poste, j'ai fait ce que j'ai pu ! (je trouve pourtant que je me suis pas mal démerdé pour cette dernière, faut juste faire un dessin ! )