Trigonométrie, Complexes

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 22:38

Bonjour,

J'ai un problème pour cette exercice,

[CENTER]

[/CENTER]

Merci d'avance,

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 22:43

J'ai essayé en faisant,

Donc

par **anima** » 09 Aoû 2007, 22:48

rifly01 a écrit:J'ai essayé en faisant,

Donc

N'y a-t-il pas 2 cas a envisager, si n est pair ou impair?

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 23:05

Si a=pi alors z=0, non ?

par **emdro** » 09 Aoû 2007, 23:09

rifly01 a écrit:J'ai essayé en faisant,

Donc

C'est quoi la racine n-ième d'un complexe?

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 23:13

Si z est un complexe alors il s'écrit :

Et donc

non ?

par **emdro** » 09 Aoû 2007, 23:19

Si cela te plaît de la définir ainsi, je veux bien l'accepter temporairement. Mais dans ce cas, on n'a pas:

équivalent à

NB Officiellement, on n'écrit pas

pour un complexe a, à cause de ce problème.

par **emdro** » 09 Aoû 2007, 23:20

Tu sais que tout nombre complexe a exactement n racines n-ièmes. Et il est bien arbitraire d'en noter une au hasard avec le radical...

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 23:25

Vous pouvez me donner des indices pour mon exo,
Je ne suis pas là pour avoir des réponses toutes faites ... :)

A : anima

A quoi peut servir la parité de n si n s'élimine ?
n s'élimine pas alors ?

par **emdro** » 09 Aoû 2007, 23:28

Soit

Si on cherche

tel que

je suis d'accord qu'on a

et

Et donc

(là ça marche car R est un REEL POSITIF)
et

L'oubli du modulo 2PI est dramatique, car en divisant par n, cela donne un modulo 2Pi/n, et c'est pour cela qu'on obtient n solutions différentes.

par **emdro** » 09 Aoû 2007, 23:29

rifly01 a écrit:Je ne suis pas là pour avoir des réponses toutes faites ...

Que veux-tu dire?

par **Edrukel** » 09 Aoû 2007, 23:34

(z+1)^n=e^(i2na)

d'où z+1=e^(i2a+i2kpi/n) ,avec k décrivant [|0,n-1|]

d'où z=e^i2(a+kpi/n) - 1

en posant : z_k = e^i2(a+kpi/n) - 1

d'où f(z) = prod( (z-z_k),k=0..n-1) -[ (z+1)^n-e^(i2na) ] = 0

f(0) fais l'affaire je pense , à toi de jouer

on trouve : P(n)=sin(an)/(2^(n-1))

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 23:35

Ah, tout à fait d'accord,

Une équation de degré n admet n racines. (D'après d'Alambert :) )

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 23:36

Je vais le refaire, et te dire si j'ai compris,

[[
d'où z+1=e^(i2a+i2kpi/n) ,avec k décrivant [|0,n-1|]
]]

Il n' y a pas de i dans le deuxième membre dans l'exp, non ?

par **Edrukel** » 09 Aoû 2007, 23:48

si il y'a un i

on a : z+1=exp(i2a)*exp(i*2k.Pi/n)

on note en général : w_k = exp(i*2k.Pi/n)

d'où z+1=exp(i2a).w_k

par **rifly01** » 09 Aoû 2007, 23:53

Merci bcq,
J'ai compris la suite,

J'ai une question :
Vous n'auriez pas une méthode simple pour démontrer le Théorème de d'Alembert-Gauss ?

par **Sylar** » 10 Aoû 2007, 00:06

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_d'Alembert-Gauss

par **rifly01** » 10 Aoû 2007, 10:14

Merci à vous tous !

Trigonométrie, Complexes

Trigonométrie, Complexes

Qui est en ligne