Trigonométrie (avancé ?)

[lud1]

Bonjour,
j'ai reçu à l'avance les questions de mon examen de trigonométrie (ce jeudi) et après avoir essayer pendant tout le samedi, je me tourne vers vous :)

1 démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors (cos (x-y)/2 -sin (x+y)/2 )2 = 1 (le deux après la parenthèse est un "carré")

2Dans un triangle AB , démontre que si sin4a +sin4b +sin4c = 0, alors le triangle est rectangle.

3Résous le système :
2sinx = cos y
sin(carré)x +sin(carré)y+cosy+3/4 =0

J'ai encore 5 autres questions :D

merci d'avance

[quartzmagique]

Bonjour,
j'ai reçu à l'avance les questions de mon examen de trigonométrie (ce jeudi) et après avoir essayer pendant tout le samedi, je me tourne vers vous

1 démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors (cos (x-y)/2 -sin (x+y)/2 )2 = 1 (le deux après la parenthèse est un "carré")

2Dans un triangle AB , démontre que si sin4a +sin4b +sin4c = 0, alors le triangle est rectangle.

3Résous le système :
2sinx = cos y
sin(carré)x +sin(carré)y+cosy+3/4 =0

J'ai encore 5 autres questions

merci d'avance

bonjour Lud1
pour le 1)
démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors

on te demande de demontrer à partir des formules trigos dont tu dispose déjà

la première étant
sin(x).sin(y) = cos(x-y)/2 -\ cos (x+y)/2

tu obtiens
de sorte que on peut ramener ça à
démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors
de sorte que alors

et la seconde étant
sin(x)+sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
et comme sin(a)=2sin(a/2)cos(a/2)
tu obtiens
(sin(x)+sin(y)).cos((x+y)/2).2.sin((x-y)/2) = 2sin((x+y)/2)cos((x+y)/2)cos((x-y)/2).2.sin((x-y)/2)
et donc
(sin(x)+sin(y)).cos((x+y)/2).2.sin((x-y)/2) =sin(x+y).sin(x-y)

de plus tu utilise la formule
sin (a)cos(b)=sin(a+b)/2 + sin (a-b)/2

ainsi
sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)=sin(x)/2 + sin(-y)=sin(x)-sin(y)

de sorte que

(sin(x)+sin(y)).cos((x+y)/2).2.sin((x-y)/2) =2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))

tu arrive 2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))=sin(x+y).sin(x-y)

enfin sur l'utilisation des formules trigo
sin(x+y)=cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)
sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)

ainsi
2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))=(cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)).(sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y))

la demo que l'on te demande se ramene à
démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors
2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))=(cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)).(sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y))

sauf erreur(les rectifier si il y a lieu) c'est plus sympas vu que pour chaque fonction sin ou cos tu n'a que la variable x ou y

continuer à partir de là une fois les erreurs possible eliminées

[quartzmagique]

pour le 1) tu a vu la méthode mais je te laisse terminer: utiliser les formules trigo de base que tu possede

sinon après pour le deux c'est illisible

peut tu recopier exactement?

2Dans un triangle AB , démontre que si sin4a +sin4b +sin4c = 0, alors le triangle est rectangle.

je suppose un triangle ABC mais pour les :a,b,c c'est quoi?
et tu dit bien
sin(4a) + ... = 0?
pour moi vu comme ça je dirai que a,b,c sont des angles

[lud1]

Je t'avouerai que j'ai pas tout compris x)
la première formule que tu donnes je ne l'ai jamais vu, mais j'en ai une qui dis : cos(a+b) - cos (a-b) = -2sina.sinb
or -2 cos (a+b) ça me semblait pas égal à -cos (a+b)/2
La 2ème chose que je ne comprends pas, c'est pourquoi vous faites des saut entre la 1ère et la 2ème équations ... vu qu'on doit partir de la première pour arrivé à la 2ème. Il me semblait qu'on ne pouvait pas interférer les égalites (vu qu'on est pas sûr de la 2ème)

Une dernière chose, si nos raisonnements sont trop long, ils ne sont pas accepté (moins d'une page +-)

[lud1]

oui effectivement c'est bien des angles (désolé, c'était pas mis sur l’énoncer, donc j'ai oublier de le mettre ;) )

[quartzmagique]

Je t'avouerai que j'ai pas tout compris x)
la première formule que tu donnes je ne l'ai jamais vu, mais j'en ai une qui dis : cos(a+b) - cos (a-b) = -2sina.sinb
or -2 cos (a+b) ça me semblait pas égal à -cos (a+b)/2
La 2ème chose que je ne comprends pas, c'est pourquoi vous faites des saut entre la 1ère et la 2ème équations ... vu qu'on doit partir de la première pour arrivé à la 2ème. Il me semblait qu'on ne pouvait pas interférer les égalites (vu qu'on est pas sûr de la 2ème)

Une dernière chose, si nos raisonnements sont trop long, ils ne sont pas accepté (moins d'une page +-)

"""" cos(a+b) - cos (a-b) = -2sina.sinb"""""
je n'ai pas écrit ça!
pouvez vous relire?
bon je vais voir mais ça m'etonnerai que j'ai ecrit ça
le mieux est de me citer sans recopier c'est plus facile pour tous les deux
merci

[lud1]

Je n'ai pas recopié ;) c'est les formules que moi j'ai ;) ("mais J'en ai une qui dit : ...)
Je n'ai jamais vu votre formule ;)

Merci ;) j'ai essayer avec les formules aussi : et j'étais arrivé à
2sin (x+y)/2 . cos(x-y)/2 = sinx.siny
Et je me disais que (cos(x-y)/2 - sin (x+y)/2)2 c'était égal à -2sin (x+y)/2 . cos(x-y)/2 + sin2x + sin2y (carré ;) )
Et donc qu'il me manquais que les carré et j'avais déjà une partie de ma 2ème équation :)

[quartzmagique]

Je n'ai pas recopié c'est les formules que moi j'ai ("mais J'en ai une qui dit : ...)
Je n'ai jamais vu votre formule

Merci j'ai essayer avec les formules aussi : et j'étais arrivé à
2sin (x+y)/2 . cos(x-y)/2 = sinx.siny
Et je me disais que (cos(x-y)/2 - sin (x+y)/2)2 c'était égal à -2sin (x+y)/2 . cos(x-y)/2 + sin2x + sin2y (carré )
Et donc qu'il me manquais que les carré et j'avais déjà une partie de ma 2ème équation

désolé mais on s'ait mal compris

je disais que si vous constatez une formule non conforme dans mon post je vous demandais de me citer

or là j'en vois personnellement aucunes mauvaises mais on peut faire des erreurs de frappe en voyez vous une non conforme en me citant?

[lud1]

bonjour Lud1
pour le 1)
démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors

on te demande de demontrer à partir des formules trigos dont tu dispose déjà

la première étant
sin(x).sin(y) = cos(x-y)/2 -\ cos (x+y)/2

ici, je n'ai jamais vu cette formule comme j'ai déjà dis (2 fois xD) celle que mois je connais c'est -2sinx.siny = cos(a+b) - cos (a-b)
or (cos (a+b))2 n'est pas égal à cos(a+b)/2 (d'après moi ?)

tu obtiens
de sorte que on peut ramener ça à
démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors
de sorte que alors

et la seconde étant
sin(x)+sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
et comme sin(a)=2sin(a/2)cos(a/2)
tu obtiens
(sin(x)+sin(y)).cos((x+y)/2).2.sin((x-y)/2) = 2sin((x+y)/2)cos((x+y)/2)cos((x-y)/2).2.sin((x-y)/2)
et donc
(sin(x)+sin(y)).cos((x+y)/2).2.sin((x-y)/2) =sin(x+y).sin(x-y)

de plus tu utilise la formule
sin (a)cos(b)=sin(a+b)/2 + sin (a-b)/2

ainsi
sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)=sin(x)/2 + sin(-y)=sin(x)-sin(y)

de sorte que

(sin(x)+sin(y)).cos((x+y)/2).2.sin((x-y)/2) =2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))

tu arrive 2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))=sin(x+y).sin(x-y)

enfin sur l'utilisation des formules trigo
sin(x+y)=cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)
sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)

ainsi
2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))=(cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)).(sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y))

la demo que l'on te demande se ramene à
démontre que si sinx+siny= sinx.siny
alors
2(sin(x)+sin(y)).(sin(x)-sin(y))=(cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)).(sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y))

sauf erreur(les rectifier si il y a lieu) c'est plus sympas vu que pour chaque fonction sin ou cos tu n'a que la variable x ou y

continuer à partir de là une fois les erreurs possible eliminées

voili, voilu

[quartzmagique]

cette formule est correcte
sin(x).sin(y) = cos(x-y)/2 - cos (x+y)/2

ceci dit il peut y avoir des erreurs mais bon là je vois pas trop...
pour la longueur oui on peut raccourcir enlever des trucs
de plus elle est pas finie je vous laisse le reste alors il vaut mieux raccourcir

[lud1]

d'accord merci ;) je n'avais jamais vu cette formules :)

[quartzmagique]

sinon pour le deux je peut pas là tout de suite mais en gros(en tres gros désolé)

l'idée serai :
si ton triangle est rectangle profitez (je vois que vous me vouvoyez mais pourrait on se tutoyer c'est plus facile à ecrire mais en plus moi je suis ouvrier du bâtiment pas prof de math vous comprenez?)

alors du produit scalaire
admettons que le triangle est rectangle en A
le vecteurs AB et AC pourraient s'ecrirent en utilisant les données des angles (bon j'avoue c'est du rapide mais j'ai pas trop le temps là )
alors le produit scalaire euclidien de AB et AC te donnera 0
bon je verrai ça plus tard mais si tu voit le truc en gros ...

[Robic]

Lud1 : la formule que t'a donnée Quartzmagique est la même que celle que tu as donné juste après :

sin(x).sin(y) = cos(x-y)/2 - cos (x+y)/2 (la sienne)

cos(a+b) - cos (a-b) = -2sina.sinb (la tienne)

En effet, si tu divises par moins deux chaque terme, la tienne donne :

cos(a-b)/2 - cos (a+b)/2 = sina.sinb.

Le problème, c'est la notation /2 : elle est ambiguë ! J'ai cru, comme toi apparemment, que cos(a+b)/2 signifiait cos[(a+b)/2]. Et je pense que c'est normal puisqu'il est d'usage de ne pas mettre de parenthèses autour de l'argument d'un cos ou d'un sin. Exemple cos t/2 --> pour tout le monde il s'agit de cos(t/2), pas (cos t)/2.

Comme quoi ce n'est pas idiot d'utiliser les balises [ tex]...

[lud1]

d'accord ;) mais alors ça ne corresponds pas à la 2 ème équation ? :/ (outch) (vu que la 2ème c'est effectivement cos [(a+b)/2]

Pour le 2ème : il me semblait que ça serrait plus simple de chercher les solutions de l'éq. et voire si y'en a une qui donne une angle de 90° ? :)

[quartzmagique]

d'accord mais alors ça ne corresponds pas à la 2 ème équation ? :/ (outch) (vu que la 2ème c'est effectivement cos [(a+b)/2]

Pour le 2ème : il me semblait que ça serrait plus simple de chercher les solutions de l'éq. et voire si y'en a une qui donne une angle de 90° ?

je m'occupe plus trop du 1) mais en ce qui concerne la deuxième equation elle aussi est correcte
non c'est bien comme j'ai donné

et la seconde étant est correcte aussi
sin(x)+sin(y) = 2sin((x+y)/2).cos((x-y)/2)
l'utilisation des parenthèses évitent le LATEX (mais pas le pétrole :lol3: )

sinon pour le 2)
on te dit qu'il existe trois point A,B,C formant un triangle

avec les valeurs d'angles(enfin les rapports entre eux) entre les segments de droites formés par ces point par conséquent il devient valable de construire les vecteurs AB et AC ou bien BA et BC etc...
pour en faire le produit scalaire et verifier un angle droit par le produit scalaire

bien évidemment c'est en gros je suis pas vraiment avec vous là mais plutôt avec Nina Hagen
mais bon...
là je suis un peu H.S. je t'avoue mais bon petit à petit...

[lud1]

j'ai réussis le premier (sans utilisé ta formule :/ )
j'ai utilisé la mienne en divisant par -2 puis grâce à ça carnot (j'ai du ajouté deux 1/2 pour carnot, ce qui me donne le 1 de la fin) et ça me donne un produit remarquable correspondant ;)

je m'attaque au 2 ;) , en classe on cherchais à démontrer que y'avais une solution qui est 90° donc je vais faire comme ça ;) (a,b,c sont des Angles ;) )

[lud1]

J'ai réussis le 3 ème (je crois) mais pas le 2ème :/

[LaCoc6nl]

2. Dans un triangle AB , démontre que si sin4a +sin4b +sin4c = 0, alors le triangle est rectangle.

Une indication pour la 2. ou (exercice traité...)
(formule de linéarisation appliquée...).

[Dlzlogic]

d'accord merci je n'avais jamais vu cette formules

En trigonométrie, les formules servent à faciliter les calculs. Soit, on a droit au formulaire lors de l'examen, alors tout va bien, soit on n'y a pas droit, alors, il faut en apprendre suffisamment pour pouvoir s'en sortir.
A titre d'exemple, la formule cité, je ne la connaissais pas, par contre je connais "cos p - cos q"

[quartzmagique]

En trigonométrie, les formules servent à faciliter les calculs. Soit, on a droit au formulaire lors de l'examen, alors tout va bien, soit on n'y a pas droit, alors, il faut en apprendre suffisamment pour pouvoir s'en sortir.
A titre d'exemple, la formule cité, je ne la connaissais pas, par contre je connais "cos p - cos q"

sinon un petit truc facile à se rappeler les onze premières formules
en examen la première chose à faire (bien que j'en ai jamais passé)c'est de passer les deux ou trois premières minutes à poser les onze formules trigos (EQ1) à (EQ11)
donc un truc mnemo





une fois que l'on a ces quatres formules de base faciles à se rappeler
en develloppant on obtiens les quatres premieres
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (EQ1)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) (EQ2)
sin(a+b)=cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b) (EQ3)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) (EQ4)

ensuite
(EQ1)+EQ2)=(EQ5)
(EQ2)-(EQ1)=(EQ6)
(EQ3)+(EQ4)=(EQ7)

donc
cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b) (EQ5)
cos(a-b)-cos(a+b)=2sin(a)sin(b) (EQ6)
sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b) (EQ7)

on s'occupe de
cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b) (EQ5)
pour avoir (EQ8)
on remplace a+b par A
on remplace a-b par B
puis on fait
A+B=2a donc (A+B)/2=a
A-B=2b donc (A-B)/2=b
on obtiens
cos(A)+cos(B)=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) (EQ8)

on s'occupe de
cos(a-b)-cos(a+b)=2sin(a)sin(b) (EQ6)
donc de
cos(a+b)-cos(a-b)=-2sin(a)sin(b) (EQ6)
pour avoir (EQ9)
on remplace a+b par A
on remplace a-b par B
puis on fait
A+B=2a donc (A+B)/2=a
A-B=2b donc (A-B)/2=b
on obtiens
cos(A)-cos(B)=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2) (EQ9)

on s'occupe de
sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b) (EQ7)
pour avoir (EQ10)
on remplace a+b par A
on remplace a-b par B
puis on fait
A+B=2a donc (A+B)/2=a
A-B=2b donc (A-B)/2=b
on obtiens
sin(A)+sin(B)=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) (EQ10)

on s'occupe encore de
sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b) (EQ7)
et comme sin(-x)=-sin(x)
donc de
sin(a+b)-sin(-a+b)=2sin(a)cos(b) (EQ7)
pour avoir (EQ11)
on remplace a+b par A
on remplace -a+b par B
puis on fait
A+B=2b donc (A+B)/2=b
A-B=2a donc (A-B)/2=a
on obtiens
sin(A)-sin(B)=2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2) (EQ11)
sin(A)-sin(B)=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) (EQ11)

ainsi deux minutes à passer avec






pour avoir

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (EQ1)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) (EQ2)
sin(a+b)=cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b) (EQ3)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) (EQ4)
cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b) (EQ5)
cos(a-b)-cos(a+b)=2sin(a)sin(b) (EQ6)
sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b) (EQ7)
cos(A)+cos(B)=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) (EQ8)
cos(A)-cos(B)=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2) (EQ9)
sin(A)+sin(B)=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) (EQ10)
sin(A)-sin(B)=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) (EQ11)