Tribu borélienne de R

[Lemniscate]

Bonjour,

Je voulais savoir comment on peut montrer que l'ensemble P(R) des parties de R n'est pas égale à la tribu borélienne de R, B(R) ?

Je voulais aussi savoir s'il était possible d'expliciter une partie de R qui n'est pas dans B(R) ?
J'ai déjà démontré que tout point de R est dans B(R) car, par exemple :
Si alors (réunion dénombrable d'ouverts de R).

Donc que toute partie dénombrable de R est dans B(R).
Par conséquent, toute partie de R dont le complémentaire dans R est dénombrable est dans B(R).

Par exemple Q (ensemble des rationnels) et R-Q sont dans B(R)...

Mais je me suis demandé si je prenais (d'une bonne façon) une partie non dénombrable d'irrationnels (par exemple en prendre 1 sur 2 [je sais, comme R-Q n'est pas dénombrable, on ne peut pas le faire, mais c'est le genre d'idée que j'ai eu...]), si cette partie serait dans B(R)... Je ne sais pas.

Peut-être connaissez-vous une démonstration qui prouve qu'on ne peut pas expliciter (ou même construire) de parties qui ne soient pas dans B(R) ???

Merci d'avance pour vos réponses.

EDIT : j'ai mis le singleton a

[SimonB]

Je voulais savoir comment on peut montrer que l'ensemble P(R) des parties de R n'est pas égale à la tribu borélienne de R, B(R) ?

On peut donner des arguments de cardinalité ( a le même cardinal que , ce qui n'est évidemment pas le cas de ) ; c'est puissamment non constructif !

J'ai déjà démontré que tout point de R est dans B(R) car, par exemple :
Si alors (réunion dénombrable d'ouverts de R).

Juste mais bon, il vaut mieux parler du singleton {a} plutôt que du point a pour ne pas tout confondre.

Je voulais aussi savoir s'il était possible d'expliciter une partie de R qui n'est pas dans B(R) ?

Oui, grâce à l'axiome du choix : tu considères la relation d'équivalence sur [0,1] suivante : x R y si et seulement si (x-y) est rationnel. L'axiome du choix te permet de construire l'ensemble A dans lequel il y a un unique représentant de chaque classe d'équivalence. Cet ensemble est non mesurable ; en effet, sinon, soit la suite des rationnels de [0,1], et soit . Les sont disjoints deux à deux, et sous l'hypothèse de mesurabilité de A ils sont tous mesurables et de même mesure. Mais la mesure de leur union doit être comprise entre 1 et 3, alors que c'est également la somme de leurs mesures. Tu en déduis une contradiction...

Sans l'axiome du choix, une telle construction est impossible !

[Nightmare]

Salut :happy3:

On a besoin de l'axiome du choix, l'idée si je me souviens est de quotienter [0,1] par la relation . On prend (grâce à l'axiome du choix) la réunion des classes d'équivalences, ce n'est pas un Borélien.

[Nightmare]

J'aurais peut être dû rafraichir... Salut SimonB

[kazeriahm]

loin de maitriser la question, il me semble qu'on mesure usuellement B(R) pour avoir une mesure qui soit invariante par translation et multiplicative (la mesure de Lebesgue), ce qui n'est pas possible sur P(R) (ca c'est un théorème, je me rappelle plus le nom). Bon je pense qu'il y a d'autres propriétés qui caractérisent la mesure de Lebesgue mais ce sont les principales (on veut retrouver la longueur des intervalles).

En cherchant de ce coté, il faut voir pourquoi on ne peut pas mesurer P(R) avec Lebesgue et donc construire un ensemble non borélien...