Tribu Borélienne

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai une preuve à faire et je sais pas trop par quoi commencé, comment bien poser tout ce que je sais et ce que je dois prouver.

"La tribu borélienne de , muni de la topologie usuelle, est engendré par les pavées de la forme x...x avec -"

C'est l'énoncé de ce que je dois prouver.

J'ai déjà commencer par noter S qui est l'ensemble des pavées de la forme x...x avec -
Je pense qu'il faut montrer au final que :

Mais là je suis bloqué, je sais que généralement, on passe par la double inclusion, vu que je maîtrise pas ce genre de notion vu que c'est nouveau pour moi, mais ça parle d'ensemble alors pour moi je voudrais bien partir sur une double inclusion, mais pour avancer... j'y arrive pas tout simplement.

EDIT : On parle aussi des ouverts dans les tribus Borélienne, j'ai remarqué que S est un ouvert étant donné que c'est le produit cartésien d'ouvert et il me semble que ça donne bien un ouvert.
Donc comme S est un ouvert, il fait partit d'un ensemble qui est plus grand, que je note A où A est l'ensemble des ouverts de

[zygomatique]

salut

il faut peut-être déjà savoir ce qu'est la tribu borélienne B ... (quelle définition)

ce qui devrait montrer assez immédiatement que T(S) est inclus dans B ...


Edit : ai remplacé T par B ...

[Ncdk]

Ah ouais j'ai compris, donc
Donc du coup comme S inclus dans A, alors inclus dans et donc inclus dans

Une idée pour l'autre inclusion ?

[L.A.]

Il te suffit de prouver que A est inclus dans T(S), et pour cela il suffit de prouver que tout ouvert peut s'écrire comme réunion dénombrable de pavés ouverts.
Pense à des quadrillages de l'espace par des cubes de côté 1, 1/2, 1/4, etc...

[Ncdk]

Si je prends un ouvert de , pour tout élément , il existe un pavé tel que et .

C'est un peu dans ce style qu'il faut démarrer non ?
Juste une chose, est-ce que dans ma supposition il faut dire que est un pavé ouvert ou bien la notion de pavé est déjà quelque chose d'ouvert ?

Mon prof nous a dit, si ça peut vous aider il est possible d'utiliser le fait que est dense dans , mais je ne vois pas pourquoi, ni comment je pourrais arriver au bout.

[Robot]

Mon prof nous a dit, si ça peut vous aider il est possible d'utiliser le fait que est dense dans , mais je ne vois pas pourquoi, ni comment je pourrais arriver au bout.

Je soupçonne que tu as oublié un bout de l'énoncé, à savoir que les et les sont rationnels.

[Ncdk]

Je soupçonne que tu as oublié un bout de l'énoncé, à savoir que les et les sont rationnels.

Mais le fait qu'ils soient rationnels on peut prendre des éléments qui sont dans et donc à fortiori dans non ?

[Robot]

Oui ou non, est-ce que " et rationnels" figurait dans ton énoncé ?

[Ncdk]

Oui ou non, est-ce que " et rationnels" figurait dans ton énoncé ?

Non, il y a pas de conditions, seulement le fait qu'ils sont compris entre -inf et +inf.

[Robot]

Alors je ne vois pas ce que le fait que soit dense dans vient faire dans l'histoire.

[L.A.]

Si je prends un ouvert de , pour tout élément , il existe un pavé tel que et .

En effet, ça te montre que tout ouvert est réunion de pavés ouverts. Mais malheureusement pas que tout ouvert est réunion dénombrable de pavés ouverts, il faut donc être plus précis.

Comme suggère Robot, tu peux en effet raisonner sur le sous-ensemble S' des pavés ouverts définis par des bornes rationnelles, puis vérifier que S' est lui-même dénombrable.

[Ncdk]

En effet, ça te montre que tout ouvert est réunion de pavés ouverts. Mais malheureusement pas que tout ouvert est réunion dénombrable de pavés ouverts, il faut donc être plus précis.

Comme suggère Robot, tu peux en effet raisonner sur le sous-ensemble S' des pavés ouverts définis par des bornes rationnelles, puis vérifier que S' est lui-même dénombrable.

Peut-être que le fait d'utiliser la densité ça intervient car Q est dénombrable de mémoire.
Du coup si on peut S' comme Q, on peut des pavés ouverts avec des éléments de Q, puis comme Q est dénombrable, S' est dénombrable, je m'embrouille un peu mais je sais pas si ça servirait à quelque chose.

EDIT : Pour montrer que S' est dénombrable, il suffit de prouver qu'il est bijection avec N ? (Application de la définition ?)

[mrif]

Si je prends un ouvert de , pour tout élément , il existe un pavé tel que et .

Mon prof nous a dit, si ça peut vous aider il est possible d'utiliser le fait que est dense dans , mais je ne vois pas pourquoi, ni comment je pourrais arriver au bout.

est dénombrable et dense dans alors au lieu de prendre un quelconque dans tu te limites à un dans . Donc tout ouvert est ue union dénombrable d'intervalles de la forme avec éléments de . Tu peux même affiner et choisir les bornes dans .

[Ncdk]

Donc en fait je peux tout simplement prendre un pavé quelconque disons x...x tel que et bien entendu , pas contre je me demandais s'il était impératif de dire que mes et sont dans ?

Je me disais que oui en fait car en faisant ça, comme on sait que est dense dans on pouvait dire que est une union au plus dénombrable car a ses éléments dans non ?

[Robot]

est dénombrable et dense dans alors au lieu de prendre un quelconque dans tu te limites à un dans . Donc tout ouvert est ue union dénombrable d'intervalles de la forme avec éléments de . Tu peux même affiner et choisir les bornes dans .

Ca, ça ne marche pas : on n'est pas sûr de recouvrir l'ouvert parce qu'on risque des rater des irrationnels.
La démarche la plus raisonnable est de travailler avec des pavés produits d'intervalles ouverts à extrémités rationnelles. Tout ouvert U est bien réunion de tels pavés contenus dans U, et il n'y en a qu'un nombre dénombrable.

[mrif]

Ca, ça ne marche pas : on n'est pas sûr de recouvrir l'ouvert parce qu'on risque des rater des irrationnels.

La partie est dénombrable, on peut donc représenter ses éléments par une suite de la forme .
Puisque est ouvert, pour chaque , il existe un intervelle ouvert , voisinage de , et contenu dans .

Jusque là je n'ai détaillé que des trivialités.

Pour tout i (fixé), je désigne par le plus grand intervalle des , qui n'est autre que l'union des .

Soit un élément de , montrons que est nécessairement dans l'un des intervalles :

U est un ouvert donc il esiste un intervalle I contenant x et contenu dans U.
I contient nécessairement un puisque est dense dans . L'intervalle I est un intervelle ouvert contenant , donc il est contenu dans puisque ce dernier est le plus grand intervalle contenat .

[Robot]

Tu as ajouté le point essentiel de prendre le plus grand intervalle (ou le plus grand pavé ouvert) contenant le point rationnel. Avec ça, ça marche. Pas sinon.

[mrif]

Tu as ajouté le point essentiel de prendre le plus grand intervalle (ou le plus grand pavé ouvert) contenant le point rationnel. Avec ça, ça marche. Pas sinon.

Le point essentiel de mon premier message est de choisir un x rationnel au lieu d'un x quelconque dans U afin de remédier au pb de la dénombrabilité. Le reste n'est qu'une description succinte d'une méthode qu'il convient d'affiner au moment de la redaction.

[Robot]

Ton premier message laissait croire que ça pouvait marcher en prenant pour chaque élément n'importe quel intervalle ouvert contenant et contenu dans .
Tu répondais à ncdk qui écrivait "Il existe un pavé contenant etc." en lui disant de se limiter aux , point barre. ncdk a d'ailleurs compris qu'il pouvait prendre n'importe quel pavé contenant un tel contenu dans .
Maintenant tu as complété pour que ça marche, c'est le principal.

Edit : ce que tu as écrit marche dans . Dans avec , c'est quoi le plus grand pavé ouvert (ou la plus grande boule ouverte) contenant et contenu dans un ouvert ?

[Ncdk]

Bonjour,

C'est une méthode différente de prouver les choses si je vous suis bien
Mais est-ce que ce que j'avais écrit est licite ?